1 第 6 章 数学抽象方法一、数学抽象方法数学抽象方法是抽象方法在数学中的具体运用。它是从考虑的问题出发，通过对各种经验事实的观察、分析、综合和比较，在人们的思维中撇开事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西， 从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律，或者在已有数学知识的基础上，抽出其某一种属性作为新的数学对象，以此达到认识事物本质和规律的目的的一种数学研究方法。二、数学抽象的特点抽象性并非数学所独有，但数学的抽象性有它自身的特点。1． 数学抽象的特殊内容。数学研究的对象只是现实世界的空间形式和数量关系而舍弃其他一些具体内容。2． 数学抽象的特殊高度。和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。3．数学抽象的特殊方法。数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的，是借助于定义和推理进行的。2 三、数学抽象的作用1．有利于使认识深入到事物的本质什么是椭圆 ? ——椭圆是鸡蛋的那种外形或者有点像橄榄的那种形状；——椭圆是平面上到两定点距离之和为一定值的点的轨迹，或者椭圆是当240bac时，满足方程220axbxycydxeyf的点 (x，y)的集合。2． 有利于认识一般下面是两类不同的方程：2212350,704xxxx20axbxc3．有利于认识无限什么是自然数 ? 1，2，3， 4，5，6，等等。意大利数学家皮亚诺这样定义自然数集：自然数是指满足以下性质的集合N中的元素：(1)1 是 N的一个元，它不是N中任何元的后继者，若a 的后继者用 a+表示，则对于 N中任何 a，a+≠1；(2) 对于 N中任意元 a，存在而且仅存在一个后继者a+；3 (3) 对于 N中任何 a，b，若 a+=b+，则 a=b；(4)( 归纳公理 )N 的一个子集合 M，若具有以下性质： 1∈M；当 a∈M时，有 a+∈M，则 M∈N。4．有利于应用的广泛性四、数学抽象的基本形式1．理想化抽象在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本质的属性，抽象出相应数学内容的方法。例如，几何中点、线、面等基本概念的引进，就是进行理想化抽象的结果。理想化抽象的结果在数学中表现出各种不同的结构形式，既有图形又有解析表达式；既有具体的数学，又...
