2025年和球有关的切接问题有答案VIP专享VIP免费

For personal use only in study and research; not for commercial use与球有关的切、接问题 1．球的表面积公式：S＝4πR2；球的体积公式 V＝πR32．与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四周体与球：如图，设正四周体的棱长为 a，内切球的半径为r，外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四周体的高，在截面三角形 SDC 内作一种与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上的圆．由于正四周体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为 O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ a，CE＝a，则有 R＋r＝ a，R2－r2＝|CE|2＝，解得 R＝a，r＝a.(2)正方体与球：① 正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为 a，则|OJ|＝r＝(r 为内切球半径)．② 与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，则|GO|＝R＝a.③ 正方体的外接球：截面图为正方形 ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：① 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则能够补形为一种正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥 A1-AB1D1的外接球的球心和正方体 ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重叠．如图，设 AA1＝a，则 R＝a.② 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则能够补形为一种长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(l 为长方体的体对角线长)．角度一：正四周体的内切球1．(·长春模拟)若一种正四周体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则＝________.解析：设正四周体棱长为 a，则正四周体表面积为 S1＝4··a2＝a2，其内切球半径为正四周体高的，即 r＝·a＝a，因此内切球表面积为 S2＝4πr2＝，则＝＝.角度二：直三棱柱的外接球2．(·唐山统考)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上，AB＝AC，侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1的面积为( )A．2 B．1 C. D.解析：选 C 由题意知，球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点，同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中心．设正方形 BCC1B1 的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R 为球的半径)，∴2＋2＝1，即 x＝，则AB＝AC＝1，∴S 矩形 ABB1A1＝×1＝.角度三：正方体的外接球3．一种正方体...