For personal use only in study and research; not for commercial use与球有关的切、接问题 1.球的表面积公式:S=4πR2;球的体积公式 V=πR32.与球有关的切、接问题中常见的组合:(1)正四周体与球:如图,设正四周体的棱长为 a,内切球的半径为r,外接球的半径为 R,取 AB 的中点为 D,连接 CD,SE 为正四周体的高,在截面三角形 SDC 内作一种与边 SD 和 DC 相切,圆心在高 SE 上的圆.由于正四周体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为 O.此时,CO=OS=R,OE=r,SE= a,CE=a,则有 R+r= a,R2-r2=|CE|2=,解得 R=a,r=a.(2)正方体与球:① 正方体的内切球:截面图为正方形 EFHG 的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为 a,则|OJ|=r=(r 为内切球半径).② 与正方体各棱相切的球:截面图为正方形 EFHG 的外接圆,则|GO|=R=a.③ 正方体的外接球:截面图为正方形 ACC1A1的外接圆,则|A1O|=R′=a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:① 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则能够补形为一种正方体,正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.即三棱锥 A1-AB1D1的外接球的球心和正方体 ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重叠.如图,设 AA1=a,则 R=a.② 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等,则能够补形为一种长方体,长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R2==(l 为长方体的体对角线长).角度一:正四周体的内切球1.(·长春模拟)若一种正四周体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S2,则=________.解析:设正四周体棱长为 a,则正四周体表面积为 S1=4··a2=a2,其内切球半径为正四周体高的,即 r=·a=a,因此内切球表面积为 S2=4πr2=,则==.角度二:直三棱柱的外接球2.(·唐山统考)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上,AB=AC,侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1的面积为( )A.2 B.1 C. D.解析:选 C 由题意知,球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上,BC 为截面圆的直径,∴∠BAC=90°,△ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点,同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中心.设正方形 BCC1B1 的边长为x,Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R 为球的半径),∴2+2=1,即 x=,则AB=AC=1,∴S 矩形 ABB1A1=×1=.角度三:正方体的外接球3.一种正方体...