第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 试根据式（6 .2 .1 3 ）证明：在体积V 内，在 到dε+ ε 的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 132232d2d .VDmh 解: 式（6 .2 .1 3 ）给出，在体积3VL内，在xp 到d,xxyppp到d,yyxppp到dxxpp的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为 3 ddd.xyzVppph （1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到dpp范围内三维自由粒子可能的量子态数为 234 πd .V pph （2） 上式可以理解为将 空间体积元24dVpp（体积V，动量球壳24 πdpp ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 2 .2pm 因此 2,d.pmp pmd 将上式代入式（2），即得在体积V 内，在 到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 132232 π( )d2d .VDmh （3） 6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度 L 内，在 到d的能量范围内，量子态数为 122dd .2LmDh 解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在 空间体积元d dxx p 内可能的量子态数为 d d.xx ph 在长度 L 内，动量大小在 p 到dpp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为 2 d .L ph （1） 将能量动量关系 22pm 代入，即得 122dd .2LmDh （2） 6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在 到d的能量范围内，量子态数为 222π.LDdmdh 解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在 空间体积元d d ddxyx y pp 内的量子态数为 21 d d dd.xyx y pph （1） 用二维动量空间的极坐标,p 描述粒子的动量，,p 与,xypp 的关系为 cos ,sin .xypppp 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为 d d .p p 在面积2L 内，动量大小在 p 到dpp范围内，动量方向在 到d范围内，二维自由粒子可能的状态数为 22d d.L p ph （2） 对d 积分，从0 积分到2 π，有 20d2 π. 可得在面积2L 内，动量大小在p到dpp范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为 222 πd .L p ph （3） 将能量动量关系 22pm 代入，即有 222 πdd .LDmh ...
