147第八章玻色统计和费米统计8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln.S k Ω=解:对于理想费米系统，与分布{}la 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））()!,!!lllllΩaaωω=−∏（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））()()lnlnlnln.lllllllllΩa aaaωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()lnlnlnlnS kΞΞΞkΞNUαβαβαβ⎛⎞∂∂=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=++()ln,lllkΞaα βε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑（3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））()lnln 1.lllΞe α βεω− −=+∑（4）由费米分布e1lllaα βεω+=+易得1481ellllaα βεωω− −+=−（5）和ln.llllaaωα βε−+=（6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为lnln.lllllΞaωωω=−∑（7）将式（6）和式（7）代入式（3），有lnlnlllllllllaS kaaaωωωω⎛⎞−=+⎜⎟−⎝⎠∑()()lnlnln.lllllllllka aaaωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（8）比较式（8）和式（2），知ln.S k Ω=（9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln1ln 1,ln1ln 1,ssssssssssSkffffSkffff=− ++⎡⎤⎣⎦=−+ −−⎡⎤⎣⎦∑∑其中sf为量子态 s上的平均粒子数.s∑ 表示对粒子的所有量子态求和. 同时证明，当1sf<<时，有()B.E.F.D.M.B.ln.ssssSSSkff f≈≈=−−∑解:我们先讨论理想费米系统的情形. 根据 8.1 题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.lnlnlnlnlnllllllllllllllllllSka aaaaakaaωωωωωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦⎡⎤−=−−+⎢⎥⎣⎦∑∑1491ln 1ln,llllllllllaaaak ωωωωω⎡⎤⎛⎞ ⎛⎞=−−−+⎢⎥⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦∑（1）式中l∑ 表示对粒子各能级求和. 以lslaf ω=表示在能量为lε的量子态 s上的平均粒子数，并将对能级l求和改为对量子态s求和，注意到~,llsω∑∑上式可改写为()()F.D.ln1ln 1.sssssSkffff=−+ −−⎡⎤⎣⎦∑（2）由于1sf≤ ，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明()()F.D.ln1ln 1.sssssSkffff=−− ++⎡⎤⎣⎦∑（3）对于玻色系统0sf≥ ，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的. 由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在1sf<<的情形下，式（2）和式（3）中的()(...
