§2极坐标系一二一、极坐标系的概念1.极坐标系的建立如图1,在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.图1一二2.点的极坐标的规定(1)如图1,对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的极径,θ叫作点M的极角,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值.(2)为了研究问题方便,极径ρ也允许取负值.当ρ<0时,点M(ρ,θ)的位置可以按下列规则确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取一点M,使|OM|=|ρ|,这样点M的坐标就是(ρ,θ),如图2所示.图2一二名师点拨建立极坐标系的要素是极点、极轴、单位长度、角度单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角θ的始边是极轴,它的终边随着θ的大小和正负而取得不同的位置;θ的正方向通常取逆时针方向,θ的值一般是以弧度为单位的量数;点M的极径ρ表示点M与极点O之间的距离|OM|,因此ρ≥0,但必要时,允许ρ<0.一二二、点的极坐标与直角坐标的互化1.互化的前提条件如图,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位长度.一二2.互化公式设点M是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.点M直角坐标(x,y)极坐标(ρ,θ)互化公式൜x=ρ𝑐𝑜𝑠θ,y=ρ𝑠𝑖𝑛θቐρ2=x2+y2,𝑡𝑎𝑛θ=yx(𝑥≠0)一二名师点拨将直角坐标化为极坐标时确定ρ和θ的值的方法由ρ2=x2+y2求ρ时,ρ不取负值.由tanθ=(x≠0)确定θ,当x≠0时,θ角根据点(x,y)所在的象限取最小正角.当x=0时,tanθ没有意义,这时又分三种情况:(1)当x=0,y=0时,θ可取任何值;(2)当x=0,y>0时,可取θ=𝑦𝑥π2;(3)当x=0,y<0时,可取θ=3π2.一二做一做1点P的直角坐标为(),则它的极坐标可表示为()A.ቀ2,π4ቁB.ቀ2,3π4ቁC.ቀ2,5π4ቁD.ቀ2,7π4ቁ-ξ2,ξ2解析：ρ=ට(-ξ2)2+(ξ2)2=2,tanθ=ξ2-ξ2=-1, 点P在第二象限,∴最小正角θ=3π4.答案：B一二做一做2在极坐标系中,极坐标化为直角坐标为()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)ቆξ2,54πቇ解析：x=ρcosθ=ξ2cos54π=ξ2×൬-ξ22൰=-1,y=ρsinθ=ξ2sin54π=ξ2×൬-ξ22൰=-1,故所求直角坐标为(-1,-1).答案：D一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)任意一个点都有唯一的极坐标.()(2)若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)关于极点对称.()(3)直角坐标为(-ξ3,ξ3)的点的极坐标一定是ቀξ6,3π4ቁ.()(4)点M的极坐标ቀ4,-π4ቁ化为直角坐标为(2ξ2,-2ξ2).()×××√探究一探究二探究三思维辨析极坐标系中点的表示【例1】在极坐标系中,作出以下各点:A(4,0),Bቀ3,π4ቁ,Cቀ2,π2ቁ,Dቀ3,7π4ቁ.分析：建立极坐标系作出极角的终边以极点O为圆心,以极径为半径分别画弧确定点的位置.解：如图,A,B,C,D四个点分别是唯一确定的.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟由极坐标确定点的位置的步骤1.取定极点O.2.作方向为水平向右的射线Ox为极轴.3.以极点O为顶点,以极轴Ox为始边,通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边.4.以极点O为圆心,以极径为半径画弧,弧与极角终边的交点即是所求点的位置.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1在同一个极坐标系中,画出以下各点:Aቀ1,π4ቁ,Bቀ2,32πቁ,Cቀ3,-π4ቁ,Dቀ4,94πቁ.解：如图.探究一探究二探究三思维辨析对称性问题【例2】在极坐标系中,点A的极坐标是,则(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是;(2)点A关于极点对称的点的极坐标是;(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标是.(限定ρ>0,0≤θ<2π)解析：如图,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意:极角是以x轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案：(1)ቀ3,11π6ቁ(2)ቀ3,7...
