球与几何体的切接问题专题研究球心性质：外接球球心到各顶点的距离相等(R)内切球球心到各面的距离相等(r)内切球、外接球的定义：内切球：几何体各个面均与球面相切外接球：几何体的各个顶点均在球面上核心：解决内外球的球心位置和半径问题一：简单几何体的外接球问题题型一：直棱柱的外接球O1O2OAC1A1B1CB球心：上下底面外接圆圆心连线的中点上下底面外接圆圆心连线段的长度=侧棱长：侧棱长底面外接圆半径其中）（lrlr:2R222+=AC1A1B1CBDD1问题一：简单几何体的外接球问题题型一：直棱柱的外接球(1)长方体的外接球：①球心：体对角线的交点；②半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高)(2)正方体的外接球：①球心是正方体中心；②半径r＝32a(a为正方体的棱长)；题型二：棱锥的外接球ACBPOOACBP正棱锥的外接球球心必在正棱锥的高所在直线上O1O11.正棱锥的外接球O1O2OAC1A1B1CB2.一条侧棱垂直底面的棱锥的外接球将一条侧棱垂直底面的棱锥的外接球问题转化为直棱柱的外接球求解：垂直于底面的侧棱长底面外接圆半径其中）（lrlr:2R222+=3.对棱相等的三棱锥的外接球APCBAPBCABCP正四面体的外接球(正四面体可以看作是正方体的一部分)球心：是正四面体的中心；半径：r＝64a(a为正四面体的棱长)；柱体的外接球例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．MNOAC1A1B1CB例2：(2017·长春模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．解析：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球球心为MN的中点，设为O，则OC＝R，由4πR2＝12π，得R＝OC＝3，又易得CN＝2，由勾股定理可知，ON＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝33.例3(1)[2017·深圳二调]已知三棱锥S-ABC中,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.64πB.68πC.72πD.100π[解析](1)由题意可知SC,CB,AC两两垂直,因此可把三棱锥S-ABC补形成以SC,CB,AC为共顶点的棱的长方体.该长方体的外接球就是三棱锥的外接球,球的直径2R=ξ𝑆𝐶2+𝐶𝐴2+𝐶𝐵2=ξ𝑆𝐶2+𝐴𝐵2=ξ62+82=10,即R=5,所以外接球的表面积S=4πR2=100π.锥体的外接球[解析](2)如图,SC为球O的直径,O为球心,因为SA=AC,所以AO⊥SC,同理SB=BC,所以BO⊥SC,所以SC⊥平面ABO.又平面SCA⊥平面SCB,所以AO⊥BO.设球的半径为R,则AO=BO=SO=CO=R,所以V三棱锥S-ABC=2×13S△ABO×SO=2×13×12×AO×BO×SO=13R3=9,所以R=3,所以球O的表面积S=4πR2=36π.例3(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.例4：在三棱锥S-ABC中,侧棱SA⊥底面ABC,AB=5,BC=8,∠ABC=60°,SA=25,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.643πB.2563πC.4363πD.2048273π[解析] AB=5,BC=8,∠ABC=60°,∴AC=52+82-2×5×8×12=7.设△ABC的外接圆的半径为r,则2r=ܥܣsinܤ=732,得r=73,又三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离d=12SA=5,∴外接球的半径R=732+(5)2=643,∴该三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=256π3.思考题：(2018·江西宜春模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A．36πB．8πC.92πD.278π★注意★锥体的外接球问题关键是确定球心位置：(1)将锥体还原或补形为正方体或长方体，进而确定球心；(2)锥体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；(3)球心到各顶点的距离都相等；(4)球心一定在外接球的直径上！问题二：简单几何体的内切球问题题型一：直棱柱的内切球前提：底面多边形具有内切圆，且侧棱长=球直径性质：球心为上下底面内切圆圆心连线的中点球半径=侧棱长的一半正方体内切球：①内切球：球心是正方体中心；②半径r＝a2(a为正方体的棱长)；OBCDACDOABCOABDO13VSr棱锥全rShS全底题型二：正棱锥的内切球正四面体的内切球：①内切球：球心是正四面体的中心；②半径r＝612a(a为正四面体的棱长)．几何体的内切球例4：(1)半径为R的球的...
