理论力学两体问题VIP免费

)e)r(FF(e)r(FrFrm/Fm/F0FFmFmFFr:)1(m1m11:""mFmFFm1m1mFFmFFr-rr.FF,FF,r-rrr12r122211212211122122111221221211212121211221若或或若式重写成折合质量引入，外力内力相对坐标第三章两体问题第三章两体问题§3.1§3.1两体问题化为单粒子问题两体问题化为单粒子问题)r(Ur21L)r(Ur)mm(21L:LL)r(U)r(Ur21r)mm(21VTLrUrUi22Ce2C21121iCe22C21iCe，其中：体系的拉格朗日函数为有关。置只与两粒子间的相对位相互作用势能有关，只与体系的质心位置假设外场势能这样，两体问题分解为两个单粒子问题。这样，两体问题分解为两个单粒子问题。§3.2§3.2有心力场中单粒子的运动有心力场中单粒子的运动)r(Umr2Lrm21)r(Umr/Lrrm21Emr/LmrmrvL)r(U2/)rr(mEt)r(U2/)rr(mr222222222222222：，因此粒子角动量守恒标因拉格朗日函数不含坐常数，因此粒子能量守恒：间因拉格朗日函数不含时拉格朗日函数：），选取平面极坐标系（。动量守恒，作平面运动在有心力势场中，因角运动方程运动方程r(t)rmr2L)r(UEm2drtmr2L)r(UEm2/drdtmr2L)r(UEm2dtdrr)r(Umr2Lrm21Er(t)r(0)222222222则可得轨道方程。消去和由角动量守恒：,t)t()t(rmr2L)r(UEm2drr/L)0()t(mr2L)r(UEm2drmrLdtmrLdmrLdtdmrLmr2L)r(UEm2/drdt)t(r)0(r22222222222。是整数）、（轨道闭合的条件是为：，矢径转过角度之间。从和，轨道位于两圆）若（离去；处后又向来，到，则粒子从）若（即：的条件决定。的变化范围由称为离心势能有效势能的变化范围nmn/m2mr2/L)r(UEm2drr/L2rrrrrrrrrr2rrr1Emr2/L)r(U0rrmr2/Lmr2/L)r(U)r(U:rmaxminrr222maxminmaxmaxminminmaxminmin222222eff运动定性讨论运动定性讨论讨论粒子在吸引势讨论粒子在吸引势U=-a/rU=-a/r33中的运动情况中的运动情况解：粒子的有效势能：Ueff=L2/2mr2-a/r3(1)曲线渐近行为r→∞，Ueff→0；r→0，Ueff→-∞。(2)曲线零点：Ueff=0→r=ro=2ma/L2(3)曲线极值：dUeff/dr=0→r=rm=3ma/L2(Ueff)max=L6/54m3a2-a/r3L2/2mr2OOEE(U(Ueffeff))maxmaxrrUUeffeffrmror1r2§3.3§3.3与距离成反比的有心力场与距离成反比的有心力场吸引势：U(r)=-a/r有效势能：Ueff=L2/2mr2-a/r(1)r→0，Ueff→+∞；r→∞，Ueff→0。(2)曲线极值：dUeff/dr=0→r=rm=L2/ma(Ueff)min=ma2/2L2(3)曲线零点：Ueff=0→r=ro=L2/2ma-a/rL2/2mr2OOEE(U(Ueffeff))maxmaxrrUUeffeffrmror1r2比耐公式——轨道方程比耐公式——轨道方程(2))r(F)rr(m(1))r(F)rr(m:r22运动方程守恒量因为有心力rh0)r(dtdr10r2r0)r(F22(3)/rmhF(r)mrF(r)rm:)1(322式得由比耐公式——轨道方程比耐公式——轨道方程我们得由引入守恒量,h/r,1/ru(3)/rhF(r)rm,rh:2322(4)duduh)dduh(dd)dduh(dtddtrdrdduhhudduu1u1dddtdddrdtdrr/mh2222222(5)m/)r(F)udud(uh:)3()4(2222比耐公式式得式代入例：已知引力作用例：已知引力作用FF(r)=-GMm/r2rroo，，求运行轨迹。求运行轨迹。解：比耐公式解：比耐公式h2u2(d2u/dθ2+u)=GM/r2=GMu2→d2u/dθ2+u=μ/h2(μ=GM)轨迹方程轨迹方程::u=1/r=CC11cosθ+Ccosθ+C22sinθsinθ+μ/h2齐次解齐次解非齐次解取近日点(r极小值)的θ为零.r极小值条件:dr/dθ=0,d2r/dθ2>0. d(1/u)/dθ=-(1/u2)du/dθ│θ=0=(1/u2)(C1sinθ-C2cosθ)│θ=0=0→C2=0∴r...