线性代数 第一章 行列式 一、相关概念 1.行列式——n 阶行列式|a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann|是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 a1j1a2j2 ··· anjn 的代数和，这里j1j2 ··· jn是1，2，···n 的一个排列。当j1j2 ··· jn是偶排列时，该项的前面带正号；当j1j2 ··· jn是奇排列时，该项的前面带负号，即 |a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann| = ∑(−1)τj1j2···jnj1j2···jna1j1a2j2 ··· anjn (1.1) 这里∑ j1j2···jn 表示对所有n 阶排列求和。式(1.1)称为 n 阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用τj1j2 ··· jn表示排列j1j2 ··· jn的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2 阶与 3 阶行列式的展开——|abcd| = ad − bc， |a11a12a13a21a22a23a31a32a33| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 5.余子式与代数余子式——在 n 阶行列式|a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann|中划去aij所在的第i 行，第j列的元素，剩 下 的元素按 原 来 的位 置 排 法 构 成 的一个n-1阶的行列式||a11···a1,j−1a1,j+1···a1n··················ai−1,1···ai−1,j−1ai−1,j+1···ai−1,nai+1,1···ai+1,j−1ai+1,j+1···ai+1,n··················an1···an,j−1an,j+1···ann||称为aij的余子式，记为Mij；称(−1) i+jMij为aij的代数余子式，记为Aij，即Aij = (−1)i+jMij。 6.伴随矩阵——由矩阵 A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如[A11A21···An1A12A22···An2············A1nA2n···Ann]，称为 A 的伴随矩阵，记作A∗。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即|AT| = |A|→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为 0. 3.某行如有公因子 k，则可把 k 提出行列式记号外。 4.如果行列式某行( 或列) 是两...
