线性代数技巧行列式的计算方法VIP免费

1 计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 001002001000000nDnn 解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为 11221 1!nnnnnaaaan. 该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于(1 )(2 )2nn，故 (1 )(2 )2( 1 )!.nnnDn  2．利用行列式的性质计算 2 例2 一个 n阶行列式nijDa的元素满足 , ,1 , 2 ,, ,ijjiaai jn  则称 Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijjiaa  知iiiiaa  ，即 0 ,1 ,2 ,,iiain 故行列式 Dn可表示为 1 21 311 22 321 32 331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa  由行列式的性质 AA 1 21 311 22 321 32 331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa 1 21 311 22 321 32 3312300( 1 )00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa  ( 1 )nnD  当 n为奇数时，得 Dn =－Dn，因而得 Dn = 0. 3 3 ．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 abbbbabbDbbabbbba 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2 ，3 ，…，n 列都加到第1 列上，行列式不变，得 (1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba 11[(1) ] 11bbbabbanbbabbba 1000[(1) ] 000000bbba banba ba b 1[(1) ]()nanb a b 4 4 ．降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 例 4 计算n阶行列式 00010000000000001000naaaDaa 解 将 Dn按第 1 行展开 1000000000000( 1)0000000001000nnaaaaDaaaa  12( 1)( 1)nnnnaa  2nnaa . 5 ．递推公式法 5...