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线性代数技巧行列式的计算方法VIP免费

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1 计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多,除非零元素较多时可利用定义计算(①按照某一列或某一行展开②完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法,值得注意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法,并举例说明。 1.利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 001002001000000nDnn 解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为 11221 1!nnnnnaaaan. 该项列标排列的逆序数t(n-1 n-2…1n)等于(1 )(2 )2nn,故 (1 )(2 )2( 1 )!.nnnDn  2.利用行列式的性质计算 2 例2 一个 n阶行列式nijDa的元素满足 , ,1 , 2 ,, ,ijjiaai jn  则称 Dn为反对称行列式,证明:奇数阶反对称行列式为零. 证明:由ijjiaa  知iiiiaa  ,即 0 ,1 ,2 ,,iiain 故行列式 Dn可表示为 1 21 311 22 321 32 331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa  由行列式的性质 AA 1 21 311 22 321 32 331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa 1 21 311 22 321 32 3312300( 1 )00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa  ( 1 )nnD  当 n为奇数时,得 Dn =-Dn,因而得 Dn = 0. 3 3 .化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 abbbbabbDbbabbbba 解:这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2 ,3 ,…,n 列都加到第1 列上,行列式不变,得 (1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba 11[(1) ] 11bbbabbanbbabbba 1000[(1) ] 000000bbba banba ba b 1[(1) ]()nanb a b 4 4 .降阶法 降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。 例 4 计算n阶行列式 00010000000000001000naaaDaa 解 将 Dn按第 1 行展开 1000000000000( 1)0000000001000nnaaaaDaaaa  12( 1)( 1)nnnnaa  2nnaa . 5 .递推公式法 5...

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