线性代数的一些证明题VIP免费

线性代数一些证明题 1 题目 设n 阶可逆矩阵A 满足A 2 =A，求A 的特征值。 知识点 特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题过程 解：因为 A 2 =A 所以 A 2 －A=0 所以 det(A 2 －A)=det[A(A－E)]=det(A)det(A－E)=0 A 为可逆矩阵，所以 det(A)≠0 所以 det(A－E)=0 所以 A 的特征值为 1. 常见错误 设存在 λ，使 Ax=λx成立 则 det(Ax)=det(A)det(x) =det( x) =n det(x) (错误在于向量取行列式) 所以 有)det(An 成立. 又因为 A 2 =A det(A) 2 =det(A), 即 det(A)=0 或 det(A)=1. 由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A)=1 1n 当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ= 1. 相关例题 设A 为n 阶矩阵,若A 2 =E，试证A 的特征值是1 或-1. 2 题目 设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0. 知识点 ①正交矩阵的定义：A T A=E ②单位矩阵的性质：EA=AE=A ET =E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质：(A+B) T =A T +BT ⑤det(A)=det(A T ) ⑥det(AB)=det(A)det(B) ⑦det(-A)=(-1) n det(A) 解题过程 A 是正交矩阵 ∴E－A= A T A－A= A T A－EA=( A T －E)A det(A)=1 ∴det(E－A)=det((A T －E)A)=det(A T －E)det(A)=det(A T －E) det(E－A)=det(E－A) T =det(E－A T ) ∴det(A T －E)= det(E－A T )= det(－(A T －E))= (－1) n det(A T －E) n 为奇数 ∴(－1) n = －1 ∴det(A T －E)=0 ∴det(E－A)=0 常见错误 ①误以为 det(E－A)= det(E)－ det(A)，于是 det(E－A)=1－det(A)=1－1=0 ② det(A)=1 ∴1a ·2a ·… ·na =1(其中1a ,2a ,… ,na 为 A 作初等变换变为上三角形后对角线上的元素). ∴det(E－A)=（1-1a ）（1-2a ）… （1-na ）. det(E-A)=det((A T -E)A)=det(A T -E)det(A)=det(A T -E) 且 det(A T -E)= （1a -1）（2a -1）… （na -1）. ∴（1-1a ）（1-2a ）… （1-na ）=（1a -1）（2a -1）… （na -1） = (-1) n （1-1a ）（1-2a ）… （1-na ） n 为奇数 ∴(－1) n = －1 ∴（1－1a ）（1－2a ）… （1－na ）=0 ∴det(E－A)=0 以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。 相关例题 证明：若A 为正交矩阵，则det(A)=±1. 3 题目...