线性代数第一章练习题VIP免费

第一章 练习题 1:设1x ，2x ，3x 是方程3x+0 qpx的三个根， 计算行列式 132213321xxxxxxxxx 解：由于1x ，2x ，3x 是方程3x+0 qpx的三个根，从而 ))()((3213xxxxxxqpxx 32132312123213)()(xxxxxxxxxxxxxxx可见0321xxx，故 133212132132321132213321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 0000132132xxxxxx 2: 计算 3211214114314321103214214314324321D 160111022203110432110 3: 计算 xxxxD43214321432143214(第一列乘（-4）加到第四列，依次类推) xxxxxxxD0010010014321（按最后一行展开） 0000432xxxxxxxxxxx0101321 3)10(xx 4: 计算 4321axxxxaxxxxaxxxxaD  （第三行乘（-1）加到第四行，第二行乘（-1）加到第三行，依次类推） xaaxxaaxxaaxxxxa4332211000000（按第一列展开） xaaxxaaxxaa4332210000xaaxxaaxxxxax4332100)( ))(())(())(()())()((42433214321axaxaxaxaxaxaxxxaxaxaa 5: 用行列式定义计算 0000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 6: ,4cdbaacbdadbcdcbaD 设四阶行列式 44342414AAAA则 01111dbacbddbccba 7. nnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和.11 21 1nAAA 解：nAAA11 21 1 n001030100211111（最后一行乘（n1）加到第一行，依次类推，第二行乘（21）加到第一行） nnn0010301002100021311111nkkn2)11(! 8．例 1:设 f(x)= c0＋c1x＋c2x2＋…＋cnxn,用克莱姆法则证明f(x)若有 n＋1 个不同的根,则 f(x)是零多项式. 证：设)1,,2,1(niai是)(xf的1n个不同的根， 即)(jiaaji， 则由)1,,2,1(0)(niafi， 得 000121211022222101212110nnnnnnnnnacacaccacacaccacacacc 该方程组的系数行列式是范德蒙行列式的转置，即 nnnnnnaaaaaaaaaD121211222211111 0)(11jijinaa 由Cramer法则知，上述方程组只有唯一零解， 即010nccc， 故0)(xf 证明：EAAAAA** 证：设)(ijaA ，记)(*ijbAA ， 则ijjninjijiijAAaAaAab2211 故n nnnnnaaaaaaaaaAA2122 22 111 21 1*n nnnnnAAAAAAAAA2122 21 212 11 1 EAAAA000000