线性代数讲义01行列式VIP免费

1 第一章 行列式 第一节 行列式的定义. 一 排列的逆序数 将数n,,2,1按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作nppp21. 共有!n 种不同的n 阶排列. 按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n1 2称为标准排列. 定义 1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数. 在 n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1(nn的逆序数最大, 等于2/)1( nn. 定义 1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列). 例如, 共有6 个三阶排列, 其中1 2 3 , 2 3 1 , 3 1 2 是偶排列, 而 1 3 2 , 2 1 3 , 3 2 1 是奇排列 . 定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换 . 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换. 定理 1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性. 证 如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变. 考虑排列nkiiippppp11, 其中1k. 为完成ip 与kip 的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将ip 与1ip对换, 再将ip 与2ip对换, 继续进行, 直至ip 与kip相邻. 在这个过程中, ip 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1k次对换 , 得到排列nkiiippppp11. 然后将kip 与ip 对换, 再将kip 与1kip对换, 继续进行, 直至kip 向前移动到1ip的左边为止. 此时恰好得到排列niikippppp11.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12k次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性. 如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n,,2,1的一个排列nppp21, 任取一个数ip , 如果有it 个比ip 大的数排在ip 的前面, 则称it 是ip 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数. 例 1.1 求排列32514 的逆序数. 解 按照上面的方法, 得逆序数为513010. 例 1.2 设1n, 求证: 在 n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 证 将一个奇排列中的数1 与2 对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2 对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因...