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线性代数课程总结 第一章 行列式 § 1 .1 二阶、三阶行列式 (一)二阶行列式 (二)三阶行列式 § 1 .2 阶行列式 (二) 阶行列式的定义 定义 1 .2 用 个元素 组成的记号 称为 阶行列式。 注意: (1 )、一阶行列式就是 (2 )、行列式有时简记为 。 第二章 矩阵及其运算 § 2 .1 矩阵的概念 定义2 .1 由 个数 排列成的一个 行 列的矩形表,称为一个 矩阵,记作 其中 称为矩阵第 行第 列的元素。 定义2 .2 如果两个矩阵有相同的行数与相同的列数,并且对应位置上的元素均相等,则称矩阵 与矩阵 相等,记为 。即如果 且 ,则 。 § 2 .2 矩阵的运算 (—)矩阵的加法和数乘矩阵 定义2 .3 两个 行 列矩阵 对应位置元素相加得到的 行 列矩阵,称为矩阵 与矩阵 的和,记 。 定义2 .4 以数 乘矩阵 的每一个元素得到的矩阵,称为数 与矩阵 的积,记作 。 由上面定义的矩阵加法、数与矩阵的乘法,不难得到下面的运算律。 设 都是 矩阵, 是数,则 (1 ) (3 ) (5 ) (7 ) (二)矩阵的乘法 定义2 .5 设矩阵 的列数与矩阵 的行数相同,则由元素 构成的 行 列矩阵 称为矩阵 与矩阵 的积,记为 或 。 可看出: 1 、两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 2 、矩阵不满足交换律。 3 、一般矩阵用大写字母 表示,但 1 行 列或 行1 列矩阵,有时也用小写字母 表示。 矩阵的乘法有下列性质: (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (三)矩阵的转置 定义 2 .6 将 矩阵 的行与列互换,得到的 矩阵,称为矩阵 的转置矩阵,记为 或 。 转置矩阵有下列性质: (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) § 2 .3 逆矩阵 定义 2 .7 对于 阶矩阵 ,如果存在 阶矩阵 ,使得 那么矩阵称为可逆矩阵,而称为 的逆矩阵。 如果 可逆, 的逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的性质: (1 )可逆矩阵 的逆矩阵 是可逆矩阵,且 。 (2 )两个同阶可逆矩阵 的乘积是可逆矩阵,且 。 (3 )可逆矩阵的转置矩阵 是可逆矩阵,且 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 § 3 .1 矩阵的初等变换 定义 3 .1 对矩阵施以下列 3 种变换,称为矩阵的初等变换。 (1 )交换矩阵的两行(列); (2 )以一个非零的数 乘矩阵的某一行(列); (3 )把矩阵的某一行(列)的 倍加于另一行(列)上。 定义 3 .2 对单位矩阵 施以一次初等变换...

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