时间序列分析讲义第01章差分方程VIP专享VIP免费

第一章差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。§1.1 一阶差分方程假设利用变量ty 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则ty 便是在时间t 可以观测到的数据。假设ty 受到前期取值1ty和其他外生变量tw 的影响，并满足下述方程：tttwyy110 (1.1)在上述方程当中，由于ty 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1ty，因此称具有这种结构的方程为 一阶线性差分方程。如果变量tw 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量tw 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设tw 是确定性变量。例 1.1 货币需求函数假设实际货币余额、实际收入、 银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为tm 、tI 、btr和ctr，则可以估计出美国货币需求函数为：ctbttttrrImm019.0045.019.072.027.01上述方程便是关于tm 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1) 表示为多个方程：0t：01100wyy1t：10101wyytt：tttwyy110依次进行叠代可以得到：1011211010110101)()1()(wwywwyy0111122113121102)1(wwwyyitiittiitwyy0111010 (1.2)上述表达式 (1.2)便是差分方程 (1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将ty 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出ty 对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。1.1.2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier)在差分方程的解当中，可以分析外生变量， 例如0w 的变化对 t 阶段以后的ty 的影响。 假设初始值1y和tww,,1不受到影响，则有：ttwy10 (1.3)类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到：jtjtwy1 (1.4)上述乘子仅仅依赖参数1和时间间隔j ，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。例 1.2 货币需求的收入乘子在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即：t...