1 / 2 《最优估计与系统建模》练习题003 各位同学： 本次练习属于概率论的复习题。我有意识地收集了这些题，增加了随机变量的特征函数等内容，目的是向大家扩大一些知识点。周国标1.已知两个连续型的随机变量,X Y 的概率密度函数分别为( ),( )f xfy ，求它们的乘积ZXY 的概率密度函数的表达式。（ 请大家注意： 随机变量的记号与它们的概率密度函数中的自变量,x y 代表完全不同的含义，变量性质也不同。但在我们的课程中，为了简化表达形式，常采用相同的记号。因此要理解上下文中符号的意义）2. 设,X Y 是零均值的联合正态随机变量，22xEX，22(),()yxyE YE XY。试证明给定 Xx 后， Y 的条件概率密度为2222[(/) ]1(| )exp2(1)21yxyyyxfy x。3. 有三个连续随机变量,,X Y W ，证明条件概率密度函数之间满足(| ,)( |)(,| )f w x y f x yf w x y 。4. 随机变量,X Y 满足lnYX ，若 Y 是正态随机变量，则称随机变量X 按对数正态分布。设 Y 是均值和方差分别为2,m的正态随机变量。证明：（1）对数正态概率密度函数可表示为21ln( )exp,022xmf xxx；（2） X 得一阶矩和二阶矩分别为2exp2EXm；22exp(22)EXm。5. n 个统计独立且分布相同的随机变量12,,,nXXX ，每个变量的概率分布函数和概率密度函数分别为( ),( )F xf x 。定义随机变量12max{,,,}nYXXX，证明 Y 的概率密度函数为1( )( )( )np ynFy f y 。 若( )(0)xf xex，则 Y 的概率密度函数等于什么？6. 随机变量 X 的特征函数定义为（请注意与Fourier 变换的区别） ：2 / 2 ()()( )djxi xC jE ef x ex，其中( )f x 是随机变量X 的概率密度函数。两个随机变量,X Y 的特征函数定义为（请注意与两维 Fouier 变换的区别） ：(,C jj(,)( , )d djxj yC jjf x y eex y 。证明：若,X Y 统计独立，则ZXY 的特征函数为()()()zxyCjCjCj。7. 设 X 是均值和方差分别为2,m的正态随机变量，证明：（1） X 的特征函数为22()exp2C jjm；（2）通过2dex关于连续球导数，其偶次中心矩为()1 3 5(1),kkE xmkk 为偶数；而奇次中心矩为零。8. 假定随机变量,1,2,,iX in 统计独立，有均值im 和方差2i 。（1）定义样本平均为11niiXXn，证明其均值和方差分别为11niimn和2211niin；（2）假定各iX 位同分布的正态随机变量，均值皆为零。X 的概率密度函数是什么？是正态变量吗？（3）假定各iX 位同分布的指数随机变量，即1()( )exp,,0xaf xxa，那么 X 是指数分布吗？它的特征函数是什么？能从特征函数看出X 的分布形式吗？9. 假定题 8 中各随机变量iX 不独立，且有2||[()()]ijiijjEXmXm，证明：样本平均的方差可表示为212012(1)niiiVarXnnn。
