迭代法解线性方程组数值分析实验报告VIP免费

数学与计算科学学院 《数值分析 》课程设计 题 目： 迭代法解线性方程组 专 业： 信息与计算科学 学 号： *******-2 4 * 名： * * 指导教师： * * 成 绩： 二零一六年 六月 二十日 一 、前言：（目的和意义） 1.实验目的 ①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤。 ②了解雅可比迭代法，高斯-赛德尔法和松弛法在求解方程组过程中的优缺点。 2.实验意义 迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。比较雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代方法和松弛法，举例子说明每种方法的试用范围和优缺点并进行比较。 二、数学原理： 设有方程组 bAx  …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式 fBxx …② (这种转化总能实现，如令bfAIB,), 并由此构造迭代公式 fBxxkk)()1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。对任意的初始向量)0(x，由式③可求得向量序列0)( }{ kx，若*)(limxx kk，则*x 就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性 1.雅可比迭代法基本原理 设有方程组 ),,3,2,1(1nibxajjnjij …① 矩阵形式为bAx ,设系数矩阵 A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0niaii 从式①中第 i 个方程中解出 x，得其等价形式 )(111jnjjijiiixabax …② 取初始向量),,,()0()0(2)0(1)0(nxxxx，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： )(111)()1(njjikjijiikibxaax …③ 也可记为矩阵形式： JxJkFBxk )()1( …④ 若将系数矩阵 A 分解为 A=D-L-U， 00000000000000111 2112 12 21 12122 22 111 21 1nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaULDA 式中 nnaaaD2 21 1， 00001213 23 12 1nnnnaaaaaaL， 0000122 311 31 2nnnnaaaaaaU。 则方程 Ax=b 变为 bxULD)( 得 bxULDx)...