1 极小点的判定条件(一)内点为极小值点的判定条件(求)(min xf,Dx)一、一般条件定理 1(一阶必要条件)设1RR:nDf具有一阶连续偏导数,*x 是 D 的内点,若*x 是)(xf的局部极小点,则0)(*xf定理 2(二阶必要条件)设1RR:nDf具有二阶连续偏导数,若*x 是 D 的内点且为)(xf的局部极小点,则)(*2xf是半正定的。定理 3(二阶充分条件) 设1RR:nDf具有二阶连续偏导数,*x 为 D 的内点,且0)(*xf,若)(*2xf正定,则*x 为)(xf的严格局部极小点。定理 4(二阶充分条件)设1RR:nf具有二阶连续偏导数,nxR*且0)(*xf, 若 存 在*x的邻 域),(*xN使 对),(*xNx,都有)(2xf半正定,则*x 为)(xf的局部极小点。二、凸规划极值判定条件凸规划问题:非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。定理 5 设1RR:nDf为凸集 D 上的凸函数,则(1))(xf的任一局部极小点*x 为全局极小点;2 (2)若)(xf可微,且存在Dx*,使0)(*xf,则*x 为)(xf在 D 上的全局极小点;(3)若)(xf为严格凸函数,且全局极小点存在,则必唯一。定理 6 考虑如下特殊的凸规划问题:正定二次函数CxbQxxxfTT21)(,nxR则bQx1*为唯一的全局极小点。(二)边界点为极小值点的判定条件考虑一般的非线性规划(NP):)(min xf:Dx,,1,0)(,,1,0)(ljxhmixsji(1)一、一般条件定理 1(K— T 条件)(或一阶必要条件):设*x 是(NP)的局部极小点,)(,),(),(,),(),(11xhxhxsxsxflm在点*x 处可微,且点*x处的全部起作用约束的梯度线性无关(即*x 是正则点),则存在实数lm,,,,,11,使下述条件成立mimixsxhxsxfiiiljjjmiii,,2,1,0,,2,1,0)(0)()()(*1*1**(* )3 二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题:)(min xfs.t. ,,1,0)(,,1,0)(ljxhmixsji(2)其 中 ,)(xf是 可 微 凸 函 数 ,mixsi,,1),(是 可 微 凹 函 数 ,ljxhj,,1),(是线性函数。定理 2(凸规划的极值):若*x 是凸规划( 2)的 K— T 点,则*x为全局极小点。注:线性函数既可视为凸函数,又可视为凹函数。三、等式约束极值判定条件,,1,0)(..)(minljxhtsxfj(3)定理 3:(一阶必要条件)假设(1)*x 为等式约束 (3)的局部极小点;(2)1n:),,1(,RRljhfj在*x 的某邻域内连续可微;(3))(,),(),(**2*1xhxhxhl线性无关。则存在R,,,**2*1l使得0)()(*1**xhxfjljj(** )定理 4(二阶充分条件)假设4 (1)1n:),,1(,RRljhfj是二阶连续可微函数;(2)存在nxR*与llR],,,[T**2*1*使得式...