1 极小点的判定条件（一）内点为极小值点的判定条件（求)(min xf，Dx）一、一般条件定理 1（一阶必要条件）设1RR:nDf具有一阶连续偏导数，*x 是 D 的内点，若*x 是)(xf的局部极小点，则0)(*xf定理 2（二阶必要条件）设1RR:nDf具有二阶连续偏导数，若*x 是 D 的内点且为)(xf的局部极小点，则)(*2xf是半正定的。定理 3（二阶充分条件） 设1RR:nDf具有二阶连续偏导数，*x 为 D 的内点，且0)(*xf，若)(*2xf正定，则*x 为)(xf的严格局部极小点。定理 4（二阶充分条件）设1RR:nf具有二阶连续偏导数，nxR*且0)(*xf， 若 存 在*x的邻 域),(*xN使 对),(*xNx，都有)(2xf半正定，则*x 为)(xf的局部极小点。二、凸规划极值判定条件凸规划问题：非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。定理 5 设1RR:nDf为凸集 D 上的凸函数，则（1）)(xf的任一局部极小点*x 为全局极小点；2 （2）若)(xf可微，且存在Dx*，使0)(*xf，则*x 为)(xf在 D 上的全局极小点；（3）若)(xf为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。定理 6 考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数CxbQxxxfTT21)(，nxR则bQx1*为唯一的全局极小点。（二）边界点为极小值点的判定条件考虑一般的非线性规划(NP)：)(min xf:Dx,,1,0)(,,1,0)(ljxhmixsji（1）一、一般条件定理 1（K— T 条件）（或一阶必要条件）：设*x 是（NP）的局部极小点，)(,),(),(,),(),(11xhxhxsxsxflm在点*x 处可微，且点*x处的全部起作用约束的梯度线性无关（即*x 是正则点），则存在实数lm,,,,,11，使下述条件成立mimixsxhxsxfiiiljjjmiii,,2,1,0,,2,1,0)(0)()()(*1*1**（* ）3 二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题：)(min xfs.t. ,,1,0)(,,1,0)(ljxhmixsji（2）其 中 ，)(xf是 可 微 凸 函 数 ，mixsi,,1),(是 可 微 凹 函 数 ，ljxhj,,1),(是线性函数。定理 2（凸规划的极值）：若*x 是凸规划（ 2）的 K— T 点，则*x为全局极小点。注：线性函数既可视为凸函数，又可视为凹函数。三、等式约束极值判定条件,,1,0)(..)(minljxhtsxfj（3）定理 3：（一阶必要条件）假设（1）*x 为等式约束 (3)的局部极小点；（2）1n:),,1(,RRljhfj在*x 的某邻域内连续可微；（3）)(,),(),(**2*1xhxhxhl线性无关。则存在R,,,**2*1l使得0)()(*1**xhxfjljj（** ）定理 4（二阶充分条件）假设4 （1）1n:),,1(,RRljhfj是二阶连续可微函数；（2）存在nxR*与llR],,,[T**2*1*使得式...
