下载后可任意编辑《 数学分析续论 》模拟试题（一） 一、单项选择题（） （１）设 为单调数列，若存在一收敛子列，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．； Ｂ．不一定收敛； Ｃ．不一定有界； Ｄ．当且仅当预先假设了为有界数列时，才有Ａ成立． （２）设在R上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当为开区间时必为开区间； Ｂ．当为闭区间时必为闭区间；Ｃ．当为开区间时必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （ ３ ） 设在 某 去 心 邻 域内 可 导 ． 这 时 有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若存在，则；Ｂ．若在连续，则 A 成立；Ｃ．若存在，则；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （４）设在上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．在上必定连续； Ｂ．在上至多只有有限个间断点；Ｃ．的间断点不能处处稠密； Ｄ．在上的连续点必定处处稠密． （５）设 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若,则 收敛； Ｂ．若 收敛，则；C．若 收敛，则； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．下载后可任意编辑 二、计算题（） （１）试求下列极限：①； ② ． （２）设．试求． （３）试求由曲线 ，直线，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 ． （ ４ ） 用 条 件 极 值 方 法 （ Lagrange 乘 数 法 ） 导 出 从 固 定 点到 直 线的距离计算公式． 三、证明题（）（１）设在上都连续．试证：若，则必存在，满足． （２）证明在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：,下载后可任意编辑其中 均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)（３） 证明：．解 答一、［答］（１）Ａ； （２）Ｃ； （３）Ｂ； （４）Ｄ； （５）Ｄ．二、［解］（１）① ； ②（２） ．（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为（４）由题意，所求距离的平方（）为的最小值，其中1 2 下载后可任意编辑需满足，故此为一条件微小值问题．依据 Lagrange 乘数法，设，并令 （Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：最后结果就是所求距离的计算公式．注 上面的求解过程是由（Ｆ）求出后直接得到，而不再去算出的值，这是一种目标明确而又简捷的解法．三、［证］（１）只需引入辅助函数：...
