模型三、Leslie 人口模型 在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。 在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成 h 个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。 记时段 k 第 i 个年龄组的女性人口总数为( )x ki，0,1,2k (1)( )11hxkb x ki ii ，且该年龄组的女性生育率（该年龄组的女性在 1 个时段内的平均生育数量）为bi ，该年龄组的死亡率为di ，则相应的存活率为1sdii ，在稳定的环境下存活率1sdii 与生育率bi 基本上是不随时间的变化而改变的，，因此我们将存活率1sdii 与生育率bi 看作是常数。则人口的变化情况满足以下条件： 第 k+1 时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段 k 各个年龄段生育的人口数之和，即 (1)( )11hxkb x ki ii （6） 时段 k+1 第 i+1 个年龄段的女性人口数量是 k 时段第 i 个年龄组存活下来的女性人口数量，即 (1)( ),1,2,1xks x k ihi ii （7） 记时段 k 女性人口数量按年龄组的分布向量为 ( )(( ),( ),,( ))129TX kxkxkxk （8） 综合上述（6）（7）（8）得：(1)( )X kLX k 其中由出生率和存活率构成的 Leslie 矩阵为 12890001000200008bbbbsLss 当矩阵 L 和按照年龄组的初始分布向量(0)X已知时，可以预测任意时段 k的女性人口按年龄组的分布情况： ( )(0),0,1,2,kX kL Xk （9） 稳定状况分析： 根据bi 和si的定义，矩阵L 中的元素满足：01,1,2,9sii (1)( ),1,2,1xks x k ihi ii，且至少有一个0bi 定理 1：L 矩阵有唯一的正特根值 1 ，且它是单根， 1 对应的特征向量为 *11 21 2(1,,,,)2111ss ss ssn TXn 且 L 矩阵的其他 n-1 个特征值k满足1k，2,3,,9k 定理 2：若 L 矩阵第一行有两项顺次的元素,1b bii 都大于 0，则1k，且由（8）式确定的( )X k 满足 ( )*lim1x kcXkk，其中 c 是由bi ， si 及 X(0)决定的常数。 （10） 由（10）式可知：*( )kX kcX，这表明当 k 充分大时女性人口总量趋向于稳定，而且各年龄组的数量占总量的比例与特征向量*X 中对应分量所占比例相同，也就是说*X 表示了女性人口按...
