课题1.2.2 其他模型与应用（2 学时）时间 年 月 日教学目的要求1、重点难点教学方法手段精讲多练主要内容时间分配作业备注【例 1】设工厂到铁路线的垂直距离为 20 千米，垂足为点，铁路线上距点 100 千米处有一个原料供应站点。现在要在铁路之间某处点修建一个车站，在由车站点向工厂修一条铁路，问点应在何处才能使得从原料供应站点运货到工厂所需运费最省？已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3：5.解 设，则，。假如公路运费为元/千米，则铁路运费为元/千米，于是从点途径点到的距离为所需总运费为因为令， 得， 只 有满足。因此当车站建于，之间且与相距 15 千米时运费最省。【例 2】欲用长 6 米的铝合金加工日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗户面积最大，最大面积是多少？解 设窗框的宽为米，则长为米，于是窗户的面积为令，得。因为，所以时极大值点，极大值为所以，窗户的宽为 1 米，长为 1.5 米时，窗户的面积最大，嘴大面积为 1.5 平方米。【例 3】将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的长和宽各为多少时，才能时圆柱的体积最大？解 设矩形的长和宽分别为，则旋转体的体积为由题意知，即代入上式得令，得惟一驻点，这时所以当矩形的长和宽分别为、时，绕旋转所得圆柱体积最大。【例 4】要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为每平方米 18 元，侧面造价为每平方米 6 元，设计的总造价为216 元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽体积最大？解 设水槽的长、宽、高分别为，则体积为由题设知即将上式代入，得求对的偏导数令，得方程组解得，代入所以取长为 2 米、宽为 2 米、高为 3 米时，水槽的体积最大，最大体积为 12 立方米。【例 5】影子为什么那么长当人们夜晚在公路上行走时，假如身后有一盏路灯，就会看到前方的路面上留下了一条长长的身影，而且人影移动的速度明显比人行走的速度垮了许多。下面，我们就用导数来解释这种现象。如图 1-25 所示，表示路灯与地面的距离，表示人的身高，人沿着轴的正向前进。假如人在 时刻由灯下的点前进至点，那么人的影子则从点“前进”至点,换句话说， 时刻影子移动的距离即为线段长度。由导数的物理意义知，就表示影子移动的速度。 由于，所以，由此可求得图 1-25 假设人以匀速行走，速度为， 则 时 刻行 走 的 距 离，于是 从而 假如我们以灯高米、身高米、速度（米|秒）计算，即可求得影子移动的速度为 （米|秒）这比人行走的速度要快多了。
