§16.5 几个初等模型 [学习目标]1．能表述导弹核武器竞赛的数学模型；2．能表述市场平衡问题的数学模型；3．会用奇偶校验法解决铺瓷砖问题；4．了解工厂地址选择的数学模型；5．能表述动物体形问题的数学模型。一、导弹核武器竞赛 美国和前苏联都深感自己需要一定数量的洲际弹道导弹，以应付对方的“核讹诈”,其基本想法是当自己在遭到对方的突然袭击后能有足够的导弹幸存下来，以便给予对方以“致命打击”. 为此双方展开了一场竞争,方法有: (1)努力增加自己的核武器，从数量上压倒对方.但这样作下去双方都感到负担过重. (2)引进反弹道导弹和多弹头导弹. (3)加固导弹库或建造核潜艇来保护导弹,使之不易受到攻击. 究竟用什么方法为好,在对方实行不同的策略时,自己又将如何应付？为此展开了一场激烈的军备竞赛.由于核武器种类繁多，性能各异,问题比较复杂，所知信息又少。因此下面建立一个简单的图解模型，以便帮助阐明其中某些问题. 把讨论的两国称为甲方和乙方.用 x,y 分别表示甲方和乙方拥有的导弹数.由于 x,y 很大,把x 和 y 看作实数. 假设两方拥有的导弹相同，而且具有同等的防护能力. 甲方为了安全，其拥有的核弹头数 x 要随乙方的弹头数 y 的增长而增长。可以假设存在增函数 f,当 x>f(y)时甲方才感到安全,x=f(y)称为甲方的安全线,同样 y=g(x)是乙方的安全线,即当 y>g(x)时乙方才感到安全.由图 16－10 可知甲方的安全区和乙方的安全区.二者的公共部分双方都感到安全，即军备竞赛的稳定区域(图中阴影部分).两条安全线的交点为竞争的平衡点。问题在于当第一次打击不可能摧毁对方的假设下，这样的稳定区域存在吗？换言之，两条单调增加的曲线 x=f(y)和 y=g(x)相交吗？这要求证明并进而讨论,当反导弹和多弹头导弹这类武器出现时，对于平衡点 A()将产生什么影响？ 为了证明 x=f(y)和 y=g(x)相交,我们采纳如下方法:证明从原点出发的任一直线 y=rx(r>0)必与曲线 x=f(y)相交,其中x=f(y)从(,0)开始，以递增到无穷的斜率向上弯曲.因为不论乙方拥有的核弹头数 y 是甲方的多少倍(如 r 倍,r 可以充分大),都不能一次毁灭甲方，也就是说在乙方 y=rx 枚核弹头的袭击下,甲方一枚弹头保存下来的概率 p(r)仍然大于零B0CA乙方安全区甲方安全区 Y = rxYx0图 16－10(尽管可以很小),那么甲方只需要拥有 枚弹头,就可以感到安全.正是直线 y=rx 和曲线 x=f(y)交点的横坐标.所以 y=rx 与甲方安全线 x=f(y)相交.如...
