第7 章 MCMC 算法 本章将介绍的马氏链蒙特卡罗（MCMC）方法是用来生成近似服从f 分布的随机变量X 的样本，从而估计关于X 的函数的期望。 7.1 Metropolis-Hastings 算法 Metropolis-Hastings 算法是一种非常通用的构造马氏链的方法。这个方法从t=0 开始，取ᵄ(0) = ᵆ(0)，其中ᵆ(0)是从某个初始分布g 中随机抽取的样本使得满足f(ᵆ(0)) > 0。给定ᵄ(ᵆ) = ᵆ(ᵆ)，下面的算法用于产生ᵄ(ᵆ+1)。 (1)由某提案密度ᵅ(∙ |ᵆ(0))产生一个候选值ᵄ∗. (2)计算Metropolis-Hastings 比率R(ᵆ(ᵆ), ᵄ∗)，其中 ᵄ(ᵆ, ᵆ) = ᵅ(ᵆ)ᵅ(ᵆ|ᵆ)ᵅ(ᵆ)ᵅ(ᵆ|ᵆ) (7.1) 注意R(ᵆ(ᵆ), ᵄ∗) 总是有定义的，因为只有f(ᵆ(ᵆ)) > 0且ᵅ(ᵆ∗|ᵆ(ᵆ)) > 0时才有ᵄ∗ = ᵆ∗。 (3)根据下式抽取ᵄ(ᵆ+1)： ᵄ(ᵆ+1) = {ᵄ∗, 以概率min{R(ᵆ(ᵆ), ᵄ∗), 1},ᵆ(ᵆ), 否则. (7.2) (4)增加 t，返回第1 步。 我们将第t 步迭代称作产生ᵄ(ᵆ) = ᵆ(ᵆ)的过程。 通过 Metropolis-Hastings 算法构造得到的链满足马氏性，因为ᵄ(ᵆ+1)仅依赖于ᵄ(ᵆ)。而是否是非周期不可约的则取决于提案分布的选取，需要自己去检验是否满足这些条件。如果满足了，那么这样生成的链具有唯一的极限平稳分布。 7.1.1 独立链 假设选取Metropolis-Hastings 算法的提案分布为某个固定的密度函数使得ᵅ(ᵆ∗|ᵆ(ᵆ)) = ᵅ(ᵆ∗)。此时 Metropolis-Hastings 比率为 ᵄ(ᵆ(ᵆ), ᵄ∗) = ᵅ(ᵄ∗)ᵅ(ᵆ(ᵆ))ᵅ(ᵆ(ᵆ))ᵅ(ᵄ∗) （7.4） 如果ᵅ(ᵆ) > 0，则有ᵅ(ᵆ) > 0，那么得到的马氏链就是非周期不可约的。 注：选择重要抽样包络的准则同样适用于选择提案密度。提案密度ᵅ应与目标分布ᵅ近似，并在尾部包含ᵅ。 Code 7.1.2 随机游动链 Code 结果： 图7.5 例7.3 中运行于u -空间的两条随机游动链对于deta 的样本路径，b=0.01 与b=1 的情况 7.1.3 击跑算法 击跑算法的提案密度随时间变化而变化，具有时间非齐性。 方向分布 h 常采用单位球面的均匀分布。在 P 维情况下，随机变量ᵰ可以通过抽样一个 p-维标准正态变量ᵄ~ᵄ(0，ᵃ)，通过作变换ᵰ = ᵄ/√ᵄᵄᵄ得到。 7.1.4 Langebin Metropolis-Hastings 算法 注1：显然f 中认为位置的增加的常数项在取导数后消失了。当 f 的导数很难求得时，可以使用其数值近似来代替。 注2：与随机游动不同，此算法引入的漂移倾向于移向目标分布...
