椭圆中两个最大张角VIP专享VIP免费

椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下：一．两个重要结论命题 1．如图：已知12,F F 为椭圆22221(0)xyabab的两个焦点 , P 为椭圆上任意一点,则当点 P 为椭圆短轴的端点时, 12F PF 最大。分析：12(0,)F PF，而cosyx 在 (0,) 为减函数，只要求cosyx 的最小值，又知1212|||| 2 ,|| 2PFPFaF Fc ，利用余弦定理可得。证明： 如图，由已知：1212||||2 ,||2PFPFa F Fc ，所以221212|||||||| ()2PFPFPFPFa ，（当12|| ||PFPF时取等号）由余弦定理得：22212121212||||||cos2 ||||PFPFF FF PFPFPF2212121212(||||)2 ||||||2 ||||PFPFPFPFF FPFPF22222121244421112 ||2 ||||acbbPF PFPFPFa（当12|| ||PFPF时取等号），所以当12|| ||PFPF时，12cosF PF 的值最小， 因为12(0,)F PF，所以此时12F PF最大。即点P 为椭圆短轴的端点时12F PF 最大。命题2．如图：已知,A B 为椭圆22221(0)xyabab长轴上的两个顶点，Q 为椭圆上1F2FX Y O P 0P任意一点 ,则当点 Q 为椭圆短轴的端点时,AQB 最大。分析： 当AQB 最大时，AQB 一定是钝角，而tanyx 在 (,)2上是增函数，利用点Q 的坐标，表示出 tanAQB ，再求 tanAQB 的最大值。证明：如图，不妨设( , )(0,0)Q x yxayb ，则,,APax BPax PQy，所以 tan,tanaxaxAQPBQPyy，则tantantan1tantanAQPBQPAQBAQPBQP222222221aayyaxxyay，又22222axayb，所以222tan(1)aAQBayb，因为2210ab，(,)2AQB，所以当 yb 时， tanAQB 取得最大值， 此时AQB 最大， 所以当点 Q 为椭圆短轴的端点时 ,AQB 最大。二．两个结论的应用利用上面两个结论，在解决一些问题带来很大的方便：例 1．已知12,F F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 使得1260F PF，求椭圆离心率的取值范围。分 析 ： 因 为 存 在1260F PF， 所 以 只 要 最 大 角10260F P F， 即1021302F P F，即103tan3F P O，也就是33cb，从而求出 e的范围。解析： 由结论1 知：当点0P 为椭圆短轴的端点时,102F P F 最大，因此要最大角X Y O Q A B 0QP 10260F P F，即1021302F P F，即103tan3F P O，也就是33cb，解不等...