2017 届数学补充材料每天都有好心情^_^ 1 椭圆题型总结一、焦点三角形1. 设 F1、F 2 是椭圆12322yx的左、右焦点，弦AB 过 F 2，求1ABF△的面积的最大值。（法一）解：如图，设2(0)xF B，22||||AFm BFn，，根据椭圆的定义，1||2 3AFm ，1|| 2 3BFn ，又12|| 2F F，在 Δ AF2F1 和 Δ BF2F 1 中应用余弦定理，得2222(23)44cos(23)44 cosmmmnnn，∴23cosm，23cosn，∴11211|| ||2 ()sin22F ABBASF Fyymn22()sin3cos3cos24 3sin2sin令 sint ，所以 01t ≤ ，∴21( )22tg tttt在 (0 1]， 上是增函数∴当1t，即2时，max1( )3g t，故1ABF△的面积的最大值为433．（法二） 解： 设 AB ：x=my+1 ，与椭圆2x2+3y2=6 联立，消 x 得 (2m2+3)y2+4my-4=0 AB 过椭圆内定点F2，∴Δ 恒大于 0.设 A(x 1,y1),B(x 2,y2)，则Δ =48(m2+1) 1ABFS=|y 1-y 2|= 4 322123mm= 4 32221(23)mm令t=m 2+1≥1，m2=t-1 ，则1ABFS= 431144tt， t∈[1,+) f(t)=144tt在 t∈[1,+)上单调递增，且f(t) ∈ [9,+) ∴t=1 即 m=0 时， Δ ABF1 的面积的最大值为4 33。注意： 上述 AB 的设法： x=my+1 ，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即 m=0 的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。F 2F1AOBxyF2F 1AOBxy2017 届数学补充材料每天都有好心情^_^ 2 2. 如图， M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足：6.PMPN(1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 若2·1cosPMPNMPN＝，求点 P 的坐标. 解： (1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M、 N 为焦点，长轴长2a=6 的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴 a=3，从而短半轴b=225ac， 所以椭圆的方程为221.95xy(2) 由2,1cosPMPNMPNg得cos2.PMPNMPNPMPNgg①因为 cos1,MPNP 不为椭圆长轴顶点，故P、M、N 构成三角形 . 在△PMN 中，4,MN由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPNg②将①代入②，得22242(2).PMPNPMPNg故点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为2 3 的双曲线2213xy上. 由(Ⅰ )知，点 P 的坐标又满足22195xy，所以由方程组22225945,33.xyxy解得3 3 ,25 .2xy即 P 点坐标为3 353 353 353 35(,)22222222、（，-）、（ -，）或（， -） .二、点差法定理在椭圆12222byax（ a ＞ b ＞0）中，若直线 l 与椭圆相交于M 、N 两点...
