§6 - 3 厄 米 算 符 的 对易 关 系 一 算 符 的 一 般 运 算 规 则 和 对 易 式 1 、 算 符 之和 与积 1 ) 单位算 符 I 对 于任意的波函数，有 I. (6. 42) 2 ) 算符 Aˆ和Bˆ相等 如果对 于任意的波函数,都有 6 9 5 BAˆˆ, 则 有 BAˆˆ . (6. 43) 3 ) 算 符Aˆ与Bˆ之和BAˆˆ 对于任意的波函数，有 BABAˆˆ)ˆˆ(. (6. 44) 显然： ABBAˆˆˆˆ, (满足交换律) CBACBAˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ, 6 9 6 (满 足 结 合 律 ) 可 证 : ● 两 个 线 性 算 符 之 和 仍 为 线 性算 符 . ● 两 个 厄 米 算 符 之 和 仍 为 厄 米算 符 。 4 ) 算 符Aˆ与Bˆ之 积BA ˆˆ 对于任意的波函数，有 )ˆ(ˆ)ˆˆ(BABA. (6. 45) 697 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研 究 两 个 算 符 作 用 是 否 与 次 序 有 关 ？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算 符 之 积 一 般 并 不 满 足 交 换 律 ， 即 0ˆˆˆˆABBA. ● 对易式的定义 ABBABAˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[. (6. 46) 若0]ˆ,ˆ[BA， 则 称 算 符Aˆ与 Bˆ对易； 若]ˆ,ˆ[BA 0， 则 称 算 符Aˆ与 Bˆ不对易。 ● 两 个 厄米算 符 之 积 一 般 并 不 是 厄米算 698 符 ， 除 非 这 两 个 厄 米 算 符 可 对 易 。具 体而 言 ， 若AAˆˆ ，BBˆˆ ， 则 有 ABABBAˆˆˆˆ)ˆˆ(, (6. 47) 只 有 当0]ˆ,ˆ[BA或BAABˆˆˆˆ时 ， 才 有 BABAˆˆ)ˆˆ(, 这 时 两 个 厄 米 算 符Aˆ与Bˆ的 积BA ˆˆ 才 是 厄米 算 符 。 ● 对易式满 足 下 列 恒等式： ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[CABACBA, ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[CABCBACBA, 699 (6. 48) ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[CBABCACBA. 3、 逆算符1ˆ A 若 由 Aˆ 能 够 唯 一地解出，则有 1ˆA . 若 算符 Aˆ的逆算符1ˆ A 存在，则有 IAAAAˆˆˆˆ11. 可以证明，若Aˆ与Bˆ的逆算符均存在，则有 111ˆˆ)ˆˆ( ABBA. 700 (6. 49) 二 学的基量子力本对易式 1、 动量算符的各个分量之间可对易 0]ˆ,ˆ[...
