Y.P.M 数学竞赛讲座 1 竞赛中的概率问题 高中阶段的概率是数学的一个重要分支概率论的初步,主要问题是概率与期望(含概率分布),主要工具是计数方法及思想.概率问题最早于2002年出现在我国中学数学竞赛中,高中联赛中的概率问题主要出现在一试中,重点关注计数技巧和思想的应用. 一、知识结构 一、概率含义:古典与几何 1.概率定义:在大量重复进行同一试验时,事件 A发生的频率nm 接近于某个常数 p(0≤p≤1),则称常数 p是事件 A的概率; 2.频率概率:概率是频率的期望值,频率可近似地作为概率; 3.古典概型:具有如下特点的概率模型称为古典概率模型简称为古典概型:①试验中出现的可能结果只有有限个;②每个结果出现的可能性相同;古典概型的概率公式p(A)=A包含的可能结果数/所有可能结果数; 4.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型;几何概型的概率公式 p(A)=构成事件 A的区域长度(面积或体积)/构成全部结果的区域长度(面积或体积); 二、事件关系:互斥与独立 1.关系定义:如果事件 A与 B不能同时发生,则称事件 A与 B为互斥事件;必有一个发生的两个互斥事件称为对立事件,事件 A的对立事件记为 A ;如果事件 A是否发生对事件 B发生的概率没有影响,则称事件 A与 B为独立事件; 2.事件运算:如果事件 A与 B至少有一个发生,记为 A+B;如果事件 A与 B同时发生,记为 AB;如果事件 B在事件 A发生的条件下发生,记为 B|A; 3.事件关系:如果事件 A与 B独立,则事件 A与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也相互独立;对任意事件 A与 B,则事件 AB、AB 、A B与 A B 两两互斥; 4.概率公式:如果事件A与B为互斥事件,则p(A+B)=p(A)+p(B);特别地,p(A)=1-p(A );如果事件A与B为独立事件,则 p(AB)=p(A)p(B);对任意事件 A与 B,则①p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB);②p(B|A)=p(AB)/p(A);设 A1,A2,„,An,„是一组完备事件(当且仅当 A1,A2,„,An,„中任意两事件互斥,且 A1∪A2∪„∪An∪„是必然事件),则对任意事件 B,都有 P(B)=P(A1) P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+„+P(An)P(B/An)+„; 三、概率分布:期望与方差 1.概率分布:设离散型随机变量可能取值为:x1、x2、„、xn, 且 p(ξ =xi)=pi(i=1,2,„,n),则称右表为随机变量ξ 的概率分布列, 简称ξ 的分布列.且有性质:①pi≥0;②p1+p2+„+pn=1. 2.期望方差:若离散型随机变量ξ 的概率分布如上表,则...
