《勾股定理》培优训练一 1.如图，△ABC 中，AB=BC，BE⊥AC 于点E，AD⊥BC 于点D，∠BAD=45°，AD 与 BE 交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若 CD=2 ，求 AD 的长. 2.如图，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，将△ABC 沿直线 BC 向右平移，使 B 点与 C 点重合，得到△DCE，连接 BD，交 AC 于F.（1）猜想 AC 与 BD 的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段 BD 的长. 3.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念. 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图1，若 PA=PB，则点P为△ABC 的准外心. 应用：如图2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P在高 CD 上，且 PD= 12 AB，求∠APB 的度数. 探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P在 AC 边上，试探究 PA 的长. （1）连接 PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB 三种情况利用等边三角形的性质求出 PD 与 AB 的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB 的度数；（2）先根据勾股定理求出 AC 的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解． 4. 已知，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB 交 AB 于点 E，且 CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC 交于点 G.（1）求证：GE=GF；（2）若 BD=1，求 DF 的长. 5.如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求 AC 的长． 6.已知等边△OAB 的边长为 a，以 AB 边上的高 OA1 为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1 与 OB 相交于点 A2．（1）求线段 OA2 的长；（2）若再以 OA2 为边，按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2 与 OB1 相交于点 A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…△OAnBn（如图）．求△OA6B6 的周长． 7. △ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图 1，根据勾股定理，则 a2+b2=c2．若△ABC 不是直角三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2 与 c2 的关系，并证明你的结论． 8.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题． （ 1 ）2+1=2，S1= 12 ；（2 ）2+1=3，S2=22 ；（ 3 ）2+1=4，S3=32 （1）请用含 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出 OA10 的长...
