四、简答题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分） 26、A＝{1,2,3}，B＝{a,b}写出 AXB 及 BXA 的所有元素。 27、找出模 5 剩余类环5Z 的所有可逆元，并指出其逆元。 28、假定一个环 R 对加法来说作成一个循环群，证明：R 是交换环。 29、证明两个不变子群的交集还是不变子群。 30、简述一个环作成域的条件，并指出域有几个理想。 31、群 G 中元 a,b,若 a,b 的阶均有限，问 ab 的阶是否有限？ 32、假定 H 是 G 的子群，N 是 G 的不变子群，证明：HN 是 G 的子群。 五、证明题（本大题共 3 小题，第 33、34 小题各 7 分，第 35 小题 6 分，共 20 分） 33、证明任意偶数阶的有限群至少有一个元 a≠e，使ea 2(e 是群 G 的单位元）。 34、设 R 是偶数环，证明：（4）是 R 的最大理想，但 R/(4)不是一个域。 35、假定[a]是整数模 n 的一个剩余类，证明：若 a 同 n 互素，那么所有[a]中的数都同 n 互素。
