第一次数学危机1.1 背景第一次危机发生在公元前 580—568 年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。1.2 起源1.2.1“万物都可以归结为整数之比”比较两条线段 a 与 b 的长度，当 b 恰好是 a 的正整数 r 倍时，我们可以直接用 a 作为这两条线段的共同度量单位。当 b 不是 a 的正整数倍时，我们就要去找第三条线段 d,使得a 可以正好分成 d 的正整数倍，同时 b 也可以分成 d 的正整数倍，我们可以假设 a 的长度是 d 的 m 倍，b 的长度是 d 的 n 倍，这时，我们说 d 就是 a 与 b 的度量单位，并说线段 a与 b 是可公约或可公度的。这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比1.2.2 希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的...
