求数列前n项和的七种方法

求数列前 N项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的， 当前 n 项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前 n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n 项和：q=1 时，1nSna1 111nnaqqSq，，特别要注意对公比的讨论。其他公式：1、)1(211nnkSnkn2、)12)(1(6112nnnkSnkn3、213)]1(21[nnkSnkn[例 1] 已知3log1log23 x，求nxxxx32的前 n 项和 . 解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21[例 2] 设 Sn＝1+2+3+ ⋯+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(211nnSn（利用常用公式）∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501∴ 当88n，即 n＝8 时，501)(maxnf2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·bn}的前 n 项和，其中 { an } 、{ b n } 分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由题可知，{1)12(nxn} 的通项是等差数列{2n －1} 的通项与等比数列{1nx} 的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②（设制错位）① － ② 得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减 ）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn[例 4] 求数列,22,,26,24,2232nn前 n 项的和 . 解：由题可知，{nn22} 的通项是等差数列{2n} 的通项与等比数列{n21} 的通项之积设nnnS2226242232⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①14322226242221nnnS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减 ）∴1224nnnS练习：求： Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1①①两边同乘以 x，得x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn②①- ②得，（1-x ）Sn=1+4 （x+ x2+x3+······+ nx ）-（4n-3）xn当 x=1 时， Sn=1+5+9+ · ·····+（4n-3）=2n2-n 当 x≠1 时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1- （4n-3）xn ] 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa. [例 5] 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解...