求极限的13种方法

求极限的 13种方法（简叙）龘龖龙极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础， 因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。例 1、求极限)1...()1)(1(22limnaaan，其中1a分析由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。解因为)1...()1)(1(22naaa=)1...()1)(1)(1(1122naaaaa=)1...()1)(1(11222naaaa=)1(1112naa当n时，,21n而1a，故从而,012na)1...()1)(1(22limnaaan=a11二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。例 2、求极限11lim1 nmxxx，其中 m,n 为正整数。分析这是含根式的（00 ）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。解令11,1txxtmn时，则当原式=mnttttttttttttmmnnmmnntmnt1...1...)1...)(1()1...)(1(lim11lim2121212111三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,lnvuveu进行恒等变形，特别的情形，在（ 1 ）型未定式时可直接运用vuveu)1(例 3、求极限oxlimxx2csc)(cos解原式=oxlim21sinsin21limcsc)1(cos2202eeexxxxx四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。例 4、求极限 nlimnnn!分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。解因为nnnnnnnnnon1121!，且不等式两端当趋于无穷时都以0 为极限，所以nlimnnn! =0 五、利用单调有界准则求极限利 用 单 调 有 界 准 则 求 极 限 主 要 应 用 于 给 定 初 始 项 与 递 推 公 式)(1nnxfx的数列极限。在确定 nlimnx 存在的前提下，可由方程 A=f(A)解出 A，则nlimnx =A。例 5、设)3(41,0,0311nnnxaxxxa，（n=1,2,⋯）,求极限 nlimnx 。分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。解由)3(41,0,0311nnnxaxxxa易知nx0。根据算术平均数与几何平均数的关系，有所以，数列nx 有下界4 a ，即对一切 n 1,有nx4 a又1)3(41)3(414...