求离心率范围六种方法

求解离心率范围六法山西阳城一中茹阳龙在圆锥曲线的诸多性质中， 离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义” 、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高中数学教学二十余载， 积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。一、 利用椭圆上一点 P(x,y) 坐标的取值范围，构造关于a,b,c 的不等式例 1 若椭圆012222babyax上存在一点 P，使900PA，其中 0 为原点， A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。解：设00, yxP为椭圆上一点，则1220220byax. ①因为900PA，所以以 OA为直径的圆经过点 P，所以020020yaxx. ②联立①、②消去0y 并整理得0)()(20222020xaabaxx当ax0时， P 与 A重合，不合题意，舍去。所以2220baabx又ax00，所以abaab2220，即22222caba得2122ac，即223e又10e，故 e的取值范围是1,22二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于 a,b,c不等式例 2 已知双曲线0,01x2222babya左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为p,是 双 曲 线 左 支 上 一 点 ， 并 且221PFPFd， 由 双 曲 线 第 二 定 义 得ed1PF，所以12PFPFe. ①由又曲线第一定义得aPF2PF12②由① - ②得.12,12PF21eeaPFea在21PFF中，,2PF21211cFFPF所以ceeaea21212，即eee11. 又1e，从而解得 e的取值范围是21,1。三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理 +均值不等式例 3 设椭圆012222babyax的两焦点为 F1、F2，问当离心率 E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P，使21PFF=120° . 解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知aPFPF221. 在21PFF中，由余弦定理得221FF21212221cos2PFFPFPFPFPF=212221PFPFPFPF=（21221)PFPFPFPF所以22212122244aPFPFPFPFca所以23,4322acca得. 又10e，故 e的取值范围是1,23四、利用圆锥曲线的 定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于 a,b,c的不等式例 4 如图 1，已知椭圆长轴长为4，以 y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y2x上，求椭圆离心率e 的取值范围。解：设椭圆的中心为A10，并延长交 y 轴于 N，则A10=.xNA2,a0因为01y002x，所以1x 0。所以322202caae012xN。所以椭圆离心率 e的取值范围为320,。五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c 的不等式例 5 如图 2，已知椭圆012222...