( 二) 矩阵与变换1．(2018· 南京模拟 ) 已知矩阵A＝1 20 1，B＝2 00 1. 若直线 l ：x－y＋2＝0 在矩阵 AB对应的变换作用下得到直线l 1，求直线 l 1 的方程．解因为 A＝1 20 1，B＝2 00 1，所以 AB＝2 20 1，设点 P0( x0，y0) 是 l 上任意一点，P0在矩阵 AB对应的变换作用下得到P( x，y) ，因为 P0( x0，y0) 在直线 l ：x－y＋2＝0 上，所以 x0－ y0＋ 2＝0. ①由 ABx0y0＝xy，即2 20 1x0y0＝xy，得2x0＋2y0＝x，y0＝y，即x0＝12x－y，y0＝y.②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线 l 1 的方程为 x－ 4y＋4＝ 0. 2．已知曲线C：y2＝12x， C在矩阵 M＝1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵 N＝20 11 0对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线 C2 的方程．解设 A＝NM，则 A＝0 11 01 00 －2＝0 －21 0，设 P( x′ ， y′) 是曲线 C上任一点，在两次变换下，在曲线C2 上对应的点为P( x，y)，则xy＝0 －21 0x′y′＝－2y′x′，即x＝－ 2y′ ，y＝x′ ，∴x′ ＝ y，y′ ＝－12x.又点 P( x′ ， y′) 在曲线 C：y2＝12x 上，∴ －12x2＝12y，即 x2＝2y. 3．已知矩阵M＝1 22 x的一个特征值为3，求 M的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解矩阵 M的特征多项式为f ( λ ) ＝λ －1 －2－2 λ －x＝( λ －1)( λ －x) －4. 因为 λ1＝3 是方程 f ( λ ) ＝0 的一根，所以x＝ 1. 由( λ －1)( λ －1) －4＝0，得 λ2＝－ 1. 设 λ2＝－ 1 对应的一个特征向量为α ＝xy，则－2x－2y＝0，－2x－2y＝0，得 x＝－ y. 令 x＝1，则 y＝－ 1，所以矩阵 M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α ＝1－ 1. 4．(2018· 扬州模拟 ) 已知 x，y∈R，若点 M(1,1)在矩阵 A＝2 x3 y对应的变换作用下得到点N(3,5) ，求矩阵 A 的逆矩阵 A－1. 解因为 A11＝35，即2 x3 y11＝35，3即2＋x＝3，3＋y＝5，解得x＝1，y＝2，所以 A＝2 13 2. 设 A－1＝abcd，则 AA－1＝2 13 2abcd＝1 00 1，即2a＋c＝1，3a＋2c＝0，2b＋d＝0，3b＋2d＝1，解得a＝2，b＝－ 1，c＝－ 3，d＝2，所以 A－ 1＝2 －1－3 2.
