环的定义思考解答环的特征资料VIP免费

24/10/2109:48近世代数近世代数第三章环与域§2环的定义—思考、解答、结论环的特征24/10/2109:48环、交换环、有单位元的环环、交换环、有单位元的环R1R11,RRaaaaR环：(3)关于加法构成一个交换群;(4)乘法结合律成立;乘法满足交换律的环.存在元素,使得(2)“两个代数运算+”“与.”;(1)非空集合;(5)乘法对加法两个分配律成立.R交换环：有单位元的环R：24/10/2109:48思考题思考题11、、221．{},,Reeeeeee构成环吗？答：构成环，零元=单位元=e.是交换环、有单位元环，10RR,100,{0}RaRaaaR2．有单位元的环答：有且只有一个吗？10RR1R注：我们只讨论单位元的环，即24/10/2109:48思考题思考题33、结论、结论11R0a0d0adabac()0abcbcd,bc性质在一个无零因子环中,乘法两个是左零因子，存在，若，则，可以是，即可以不同.（任何环加法都有消去律）消去律成立.3．有零因子的环中，乘法有消去律吗？答：没有.若结论1：环是无零因子环乘法适合消去律.24/10/2109:48思考题思考题44、结论、结论22R10R1R0,,0aabab且是可逆元，若有使得，除环：有单位元环,且（，每个非零元都可逆.的零因子一定不是环的可逆元.你认为他的论断对吗?为什么?结论2：可逆元一定不是零因子，）4．有人说:一个环RR答：对.1100,baabaa，故不是左零因子.同理也不是右零因子零因子一定不是可逆元；除环是无零因子环.24/10/2109:48思考题思考题55、、66结论结论33R5．除环的非零元对于乘法构成群吗？关于加法构成交换群，所有非一定构成除环，则是除环所有非零元关于乘法构成乘群.答：构成.两个非零元的乘积是非零元，结合律成立，有单位元，每个非零元有逆元.6．若零元关于乘法构成乘群，问R答：不一定.分配律未必保证.吗？结论3：环RR24/10/2109:48结论结论44结论4：有单位元环的全体可逆元关于乘法做成群，称可逆元为单位，称此群为单位群.整数环的单位群：高斯整环的单位群：{1，-1}{1，-1，i，-i}24/10/2109:48结论结论66域：交换的除环结论5：域是环、交换环、有单位元环、整环、除环.24/10/2109:48一、理想的定义与判别一、理想的定义与判别RI(1),,abIabI有定义1设为环,为的非空子集.满足:则称的一个理想.R如果I(2),,,aIxRaxxaI有I为R●由定义可知,理想一定是子环.{0}R与本身都是理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.R的理想.这两个●吸收律子群24/10/2109:48{0},0,IaIR的不等于它自身的理想(如果有的话)的真理想.除环只有零理想与单位理想.●,bR11,aaIIR1,bbI●称为R24/10/2109:48例1Z,,0dZdZd,,dadZzZ有dZ,,0dZdZd试求的所有理想.的全部子群为：为的理想.的全部理想为解Z()dazzdadazdZZ由此知,Z24/10/2109:48二、理想的运算二、理想的运算R12,II12121122{|,},IIaaaIaI12,II定义2设为环,为的理想.分别称为理想的和与交.R集合1212{|}IIaaIaI且R12,II12II12II定理1环的两个理想的和与交都是的理想.R24/10/2109:48证明(1)111222,,,abIabI，112212()()rsababII121212,()xRxrxaaxaxaII121212()rxaaxaxaxII12II是的理想.R（2）1212,,,,,,rsIIrsIrsI1212,,rsIrsIrsII且1212,,,,,,xRxrrxIxrrxIxrrxII且12II是的理想.R121212,,raasbbII24/10/2109:48定理2R环的任意有限多个理想的和还是理想.R的任意多个理想的交还是理想.环