从命题逻辑到谓词逻辑 命题逻辑研究的基本元素是命题。命题是有真假意义的一句话,而对这句话的结构和成分是不考虑的。 因此,用这样简单的手段,很多思维过程不能在命题逻辑中表达出来。 例如,逻辑学中著名的三段论: 凡人必死 张三是人 张三必死 在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。 因为,如果用P 代表 “凡人必死”这个命题,Q 代表 “张三是人”这个命题,R 代表 “张三必死”这个命题,则按照三段论,R 应该是P 和Q 的逻辑结果。但是,在命题逻辑中,R却不是P 和Q 的逻辑结果,因为公式 P∧Q→R 显然不是恒真的,解释{P,Q,¬R}就能弄假上面的公式。 发生这种情况的原因是:命题逻辑中描述出来的三段论,即PÙQ®R,使R 成为一个与P,Q无关 的独 立 命题。因此,取 解释时 ,可 将 P,Q 取 真,R 取 假,从 而弄假公式P∧Q→R。 但是,实 际 上命题R 是和命题P,Q 有关 系 的,只 是这种关 系 在命题逻辑中无法表示。因此,对命题的成分、 结构和命题间 的共 同 特性等需要做进一步的分析,这正是谓词逻辑所要研究的问题。为了表示出这三个命题的内在关 系 ,我们需要引进谓词的概念。在谓词演算中,可将 命题分解为谓词与 个体两部分。例如,在前面的例子“张三是人”中的“是人”是谓语,称为谓词,“张三”是主语,称为个体。 定义3.1.1 可 以 独 立 存 在的物 体称为个体。( 它 可 以 是抽 象 的,也 可 以 是具 体的。) 如人、 学生、 桌 子、 自 然数 等都 可 以 做个体。在谓词演算中,个体通 常 在一个命题里 表示思维对象 。 定义3.1.2 设D 是非 空 个体名称集 合 ,定义在Dn 上取 值 于 {1,0}上的n 元函 数 ,称为n元命题函 数 或 n 元谓词。其 中Dn 表示集 合 D 的n 次 笛 卡 尔 乘 积 。 一般 地 ,一元谓词描述个体的性质 ,二 元或 多元谓词描述两个或 多个个体间 的关 系 。0 元谓词中无个体,理解为就是命题,这样,谓词逻辑包 括 命题逻辑。 下 面我们举 一个谓词的例子: 令G(x,y): “x 高于y”,于是,G(x,y)是一个二元谓词。将x 代以个体 “张三”,y代以个体 “李四”,则G(张三,李四)就是命题: “张三高于李四”。随便将x,y 代以确定的个体,由G(x,y)都能得到一个命题。但是,G(x,y)不是命题,而是一个命题函数即谓词。 于是,用谓词的概念可将三段论...