微积分五讲 龚 昇 目 录 前言 一、 回顾中学数学 1 ． 百年前的讲演 2 ． 算术与代数 3 ． 几何与三角 4 ． 三点启示 二、 微积分的三个组成部分 1 ． 微积分的主要矛盾 2 ． 一元微积分的三个组成部分 3 ． 多元微积分的三个组成部分 三、 微积分中的各种矛盾 1 ． 微积分与积分的公式及定理的对应 2 ． 三个初等函数 3 ． 其它一些矛盾 四、 微积分的三个发展阶段 1 ． 微积分的前驱工作 2 ． 微积分的创立 3 ． 微积分的严格化与外微分形式的建立 五、 微积分严格化之后 1 ． 微积分的深化与拓展 2 ． 复数域上的微积分 3 ． 流形上的微积分 前 言 2 0 0 2 年三、四月之间，根据陈省身教授的嘱咐，我在天津作了微积分的系统讲演，共 1 6 学时。2 0 0 3 年四月，我在丘成桐教授创办的浙江大学数学科学研究中心工作期间，又作了微积分的系统讲演，共1 0 学时。这二次系统讲演，听众是大学生和一些大学教师，这本小书就是根据这二次系统讲演的讲稿及录像，整理而成的。 这是一本科普书籍，因之，不求句句话都十分严格，而求通俗易懂。这本小书也实际上阐述了我对微积分这门学科及大学微积分这门课程的看法，其中有一些看法也许是新的，这当然是我个人的浅见，未必正确，说出来供正在学习或已经学过微积分的大学生及教微积分的教师们参考，并希望得到你们的批评。 我要感谢陈省身教授，他对我的多次有关数学，尤其是微积分的谈话，使我深受教育，得益匪浅。 我也要感谢南开大学刘徽数学研究中心及浙江大学数学科学研究中心，尤其是南开大学的葛墨林教授，浙江大学的许洪伟教授，尹永 成教授，他们为 我作这二次系统演讲及写 作这本小书给 予 了极 大的关心、帮 助 与 支 持 。我还 要感谢沈 可 美 小姐 为 精 心打 印 本书所 付 出的辛 勤 劳 动 。 龚 昇 二 0 0 三年五 月于 杭 州 灵 峰 山 庄 1 一、 回顾中学数学 1 ． 百年前的讲演 20 世纪已经过去，这是一个伟大的世纪。在这个世纪，数学得到了前所未有的迅猛发展。在这个世纪即将来临时，1900 年8 月5 日，法国数学家希尔伯特（Dav id Hilbert 1862-1943 ）在巴黎第二次国际数学家大会上作了题为“数学问题”的著名讲演【1】。这是一个载入史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语中，对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等，发表了许多精辟...
