初等数论练习题答案

初等数论练习题答案 信阳职业技术学院 2 0 1 0 年 1 2 月 2 初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=12;  (2420)=_880_ 2、设a,n 是大于1 的整数，若an-1 是质数，则a=_2. 3、模9 的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100 的通解是x=900+23t，y=700+18t tZ。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_(m)_。 7、18100 被 172 除的余数是_256。 8、10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p  1 1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题 1、解同余方程：3x211x20  0 (mod 105)。 解：因 105 = 357， 同余方程3x211x20  0 (mod 3)的解为 x  1 (mod 3)， 同余方程3x211x38  0 (mod 5)的解为 x  0，3 (mod 5)， 同余方程3x211x20  0 (mod 7)的解为 x  2，6 (mod 7)， 故原同余方程有 4解。 作同余方程组：x  b1 (mod 3)，x  b2 (mod 5)，x  b3 (mod 7)， 其中 b1 = 1，b2 = 0，3，b3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为 x  13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解： 故同余方程x2≡42(mod 107) 有解。 3、求（127156+34）28 除以 111 的最小非负余数。 3 解：易知1271≡50（mod 111）。 由502 ≡58（mod 111）, 503 ≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028 ≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111） 从而5056 ≡16（mod 111）。 故（127156+34）28≡（16+34）28 ≡5028≡70（mod 111） 三、证明题 1、已知p是质数，（a,p）=1，证明： （1）当a 为奇数时，ap-1+(p-1)a≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，ap-1-(p-1)a≡0 (mod p)。 证明：由欧拉定理知ap-1≡1 (mod p)及(p-1)a≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。 2、设a 为正奇数，n为正整数，试证n2a≡1(mod 2n+2)。 …………… （1） 证明 设a = 2m  1，当n = 1 时，有 a2 = (2m ...