o 1. 勾股定理及其逆定理的概念 ⑴勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和. 例如：①如图所示，在等腰△ABC 中，若AB＝AC＝13，BC＝10，求底边上的高. ②如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝，AC＝4，CB＝3，求斜边AB 上的高. 解：①作 AH⊥BC AB＝AC＝13，AH⊥BC ② AC＝4，BC＝3 5HC＝3×4 ⑵勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角. 例如：①如图所示，在△ABC 中，三条边之比为 9：12：15，那么此三角形为何三角形？ ②如图所示，在△ABC 中，若，，那么此三角形为何三角形？ 解：① ∴设 ∴此三角形是Rt△. ②证： ∴此三角形是 Rt△. 注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别： 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关. 2. 勾股定理的证明方法介绍 勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了400 多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏. （1）赵爽的拼图法 我国古代著名数学家赵爽在《勾股圆方图》一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美. 如图，在边长为的正方形中，有四个斜边为的全等的直角三角形，已知它们的直角边为、利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下： 因为正方形边长为，所以正方形的面积为. 又因为正方形的面积＝， 所以有. （2）旋转面积法 如图，设矩形ABCD 为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至 A＇B＇C＇D 的位置，D 点不动.若设 AB＝，BC＝，DB＝，则梯形的面积＝，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为： . 所以有：＝. 化简为：，即. （3）美国第20 任总统的拼图面积法 加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为90°.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设AC＝BE＝，BC＝DE＝，AB＝DB＝. 因为， . 即＝即. 3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法 ⑴解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形. ⑵解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想. 4. 勾股定...
