1.求证:.解析:先构造函数有,从而所以2.求证:解析:3.已知.求证:.4.求证:解析:一方面:(法二)另一方面:5.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,5.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有6.求证:和.解析:构造函数后即可证明FEDCBAn-inyxO7.求证:解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题)8.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以9.数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的前项和为,且,求证:对任意实数(是常数,=2.71828)和任意正整数,总有2;(Ⅲ)正数数列中,.求数列中的最大项.(Ⅰ)解:由已知:对于,总有①成立∴(n≥2)②①--②得∴ 均为正数,∴(n≥2)∴数列是公差为1的等差数列又n=1时,,解得=1∴.()(Ⅱ)证明: 对任意实数和任意正整数n,总有≤.∴(Ⅲ)解:由已知,易得猜想n≥2时,是递减数列.令 当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.又,∴数列中的最大项为.10.已知证明.解析:,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路:。于是,即注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:,即11.已知函数若解析:设函数∴函数)上单调递增,在上单调递减.∴的最小值为,即总有而即令则12.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证:函数上是增函数;(II)当;(III)已知不等式时恒成立,求证:解析:(I),所以函数上是增函数(II)因为上是增函数,所以两式相加后可以得到(3)……相加后可以得到:所以令,有所以(方法二)所以又,所以13.定义如果内存在二阶导数则(1)若对则函数在内为凸函数.(2)若对则函数在内为凹函数.若函数内是凸(或凹)函数时,对及,有Jensen(琴森)不等式等号当且仅当时成立.证明下列不等式.分析上式只要能证明,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后不等式会更复杂.而这里的可以看作是同一函数的多个不同函数值,设那么就可以用Jensen不等式来证明它.然后只要令,同理可得.证明令因为,所以是凹函数则对有即又因为所以令,则同理可得所以14.(浙江省五校2009届高三第一次联考理科第21题)已知函数ln1fxxx,数列na满足:11111,ln2ln2nnnnnaaaafaa.(1)求证:ln1xx;(2)求数列na的通项公式;(3)求证不等式:12ln2ln2naaann.分析:(1)构造函数、利用函数的单调性证明;(2)根据函数关系把数列的递推关系找出来,利用变换的方法将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决;(3)根据(1)(2)的结果分析探究.解析:(1)ln1fxxx,1'111xfxxx,当10x时,'0fx,即()yfx是单调递增函数;当0x时,'0fx,即()yfx是单调递减函数.所以'00f,即0x是极大值点,也是最大值点ln100ln1fxxxfxx,当0x时取到等号.(2)由111ln2lnnnnnnaaafaa得1121nnnaaa,112nnaa,1111122nnnnaaaa,111111nnaa,即数列11na是等差数列,首项为1121a,公差为1,∴1111nnnnaan.(3)1211111111211naaan111231nn又 0x时,有ln1xx,令101xn,则112ln1ln111nnnn∴11134512lnlnlnlnln2312341nnnnnnn3422lnlnln2ln22312nnnnnnn∴12ln2ln2naaann.15.(1)证明:(2)数列中.,且;①证明:②解析:(1)设,则.所以在内是减函数,.又在处连续,所以.即(2)①用数学归纳法...