北京大学自主招生试题

2008 北京大学自主招生数学试题 1 求证：边长为1 的正五边形对角线长为512 1xx1-xxx54321EDCBA 略解： 三角形ABE∽三角形DAE 则：1151251AC=1+x=2xxxx对角线 2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1 的一半 PBCAB1C1A1 略解：如图得证 3 已知 1231231223311 22 33 1123123123123min(,,)min( ,,)max(,,)max( ,,)aaabbba aa aa ab bb bb ba a ab b ba a ab b b求证： 4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9 支 南方球队总得分是北方球队的9 倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1 分 败得0 分） 解：设北方球队共有 x 支，则南方球队有 x+9 支 所有球队总得分为229(29)(28)(29)(4)2xxxCxx 南方球队总得分为 9 (29)(28)9(9)(4)10210xxxx 北方球队总得分为 (29)(4)10xx 南方球队内部比赛总得分29xC 北方球队内部比赛总得分2xC (29 )(4 )(1)01 02xxx x 解得：1 12 2 91 12 2 91 11 69333x 因为(29 )(4 )1 0xx为整数 x=6 或x=8 当x=6 时 所有球队总得分为229(29 )(28)(29 )(4 )2xxxCxx=210 南方球队总得分为9 (29 )(28)9 (9 )(4 )1 021 0xxxx=189 北方球队总得分为(29 )(4 )1 0xx=21 南方球队内部比赛总得分29xC =105 北方球队内部比赛总得分2xC =15 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分． 冠军在南方球队中 当x=8 时 所有球队总得分为229(29 )(28)(29 )(4 )2xxxCxx=300 南方球队总得分为9 (29 )(28)9 (9 )(4 )1 021 0xxxx=270 北方球队总得分为(29 )(4 )1 0xx=30 南方球队内部比赛总得分29xC =136 北方球队内部比赛总得分2xC =28 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为9×17=153<270 所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分． 冠军在南方球队中 综上所述，冠军是一支南方球队 5 （理科）O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内202yx绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1 ,0 ,1 )设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求C上未被照到的...