函数的零点问题VIP专享VIP免费

函数零点问题一、基础知识回顾1．函数零点概念对函数，把使的实数叫做函数的零点．同时我们还要知道函数零点、方程的根和函数图像的关系：函数有零点方程有实数根函数图像有交点.2.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.3.几种基本函数的图像：一元一次函数、二元一次函数、三元一次函数图像、指数函数、对数函数和幂函数图像。二、典型例题1．求一元二次函数（方程）的未知参数问题例1.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）。A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞，-2)∪（2，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）解：关于一元二次方程解的根的个数情况，一般都是直接判断值的情况：当,方程有两个不同的实数根；当，方程有两个相同的实数根（一个根）；当方程没有实数根。1此题关于x的方程有两个不同的实数根，即有，解得或．故选Ｃ．2．利用零点存在定理和函数单调性求零点问题例2：(09天津)设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfxA在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。解析：解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。由题得0131)1(,013,31)1(eefeeff，所以在又xxxxf33131)`(，令0)`(xf得3x；令0)`(xf得30x；，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，所以在区间内无零点，故选择D。3．利用函数图像求函数零点问题求两个简单函数构成的函数表示为时，求零点个数，就可以转化为函数和交点的问题。例3函数e2xfxx的零点所在的一个区间是（）．A.2,1B.1,0C.0,1D.1,2解法一:零点定理2解：(1)．因为00e0210f，11e12e10f，所以函数e2xfxx的零点所在的一个区间是0,1．故选C.解法二:图像法(1).e2xfxx可化为．画出函数和的图象，可观察得出C正确.4．求分段函数的零点问题分段函数的两点的零点只要分别考虑两段函数的零点函数即可。如果零点可求的话可以直接分段求零点。当函数比较复杂的时候就可以直接画出大概的草图，再判断零点个数。如果遇到的分段函数较为复杂，也可以利用题型2、3用到的方法来求判断零点。例4.函数f（x）=的零点个数为（）A.2B.2C.1D.0【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选B。三、练习题选择填空：343211224y=x+2y=ex0xy1.已知关于x的不等式022aaxx在R上恒成立,则实数a的取值范围是_________.2.函数的零点所在的大致区间是（）ABCD3.函数的零点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4.若函数为，则有个零点.5.若关于的方程有两个不同的实数根,求的取值范围.6.(2009山东)若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.7.方程的实数解的个数为.8.函数的零点个数是___________。解答题：1.（2009陕西卷节选）已知函数3()31,0fxxaxa，若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。4四、课堂小结解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.5