多元函数的极值及其应用

1 多元函数的极值与最值及其应用 在管理科学、经济学、以及许多工程与科技问题中，常常需要研究函数的最大值与最小值问题，它们统称最值问题.需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量为决策变量，相应的问题为优化问题. 一、一般方法求极值和最值 实际问题中求最大值和最小值 1 .制作一定体积的物体，求用料最少。 例 用铁皮制作有盖长方体水箱，且其长、宽、高分别为zyx,,.若体积 2V 时,怎样用料最省? 解: 用料 )22(2)(2yxxyzxyzxyS, 其中0,yx. 令 2222()0,22()0. xySyxSxy3322yx 同时 3 22  xyz. 据实际情况可知, 长、宽、高均为3 2 时, 用料最省. 2.施工时对于建筑材料使用的最小值 例 一水渠的横断面是面积 为 S 的等腰梯形，问应该如何 选取岸边的倾斜角 与高度h ， 可以使得湿周L 最小？（湿周 为横断面上与水接触的各边总长. 一般地： 湿周越小，所需建材与 修筑工作量越少） 解 设梯形下底的长为a ，则横断面面积(cot )cotSSahhahh 湿周22cot(0, 0)sinsin2hShLahhh 2 由24212cos0sin,2cos330sinhLhShSLh ， 故当4,33Sh 时， 函数2cot(0, 0)sin2ShLhhh达到最小值minL. 3.生产利润的最大值 例 某工厂生产,A B 两种型号的产品，A 型产品的售价为1000元/件，B 型产品的售价为900元/件，生产A 型产品x 件和B 型产品y件的总成本为 22( , )4000020030033C x yxyxxyy元，求,A B 两种产品各生产多少件时，利润最大？ 解：设( , )L x y 为生产A 型产品x 件和B 型产品y 件时的总利润，则 ( , )L x y ＝( , )( , )R x yC x y 223380060040000xxyyxy ， 由( , )68000120( , )6600080xyL x yxyxLx yxyy   ， 又有(120,80)60,(120,80)1,(120,80)6xxxyyyALBLCL    2350ACB 故函数( , )L x y 在点(120,80) 取得最大值，且max ( , )(120,80)32000Lx yL（元）. 4.求一定区域内函数的最值 例 求函数12zxy 在( , ) |0,0,1}Dx yxyxy上的最大值与最小值. 解 在区域( , ) |0,0,1}x...