杨辉三角探究VIP免费

研究性课题:杨辉三角(数学第三册第71页)杨辉(约公元13世纪中叶至后半叶)字谦光,钱塘(今浙江杭州)人,是中国南宋末年的数学家、数学教育家.著作甚多,他编著的数学书共五种二十一卷,著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.“杨辉三角”出现在他编著的《详解九章算法》一书中,杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右,杨辉是一位杰出的数学教育家、重视数学的普及．杨辉简介一一一二一一三一三一四一六四一五一十十五六一一六一十五二十十五杨辉三角第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561············第n–1行1······1第n行1······1······11nC21nC11rnCrnC121nnC1nC2nCrnC1nnC2nnC一般的杨辉三角基本性质.111rnrnrnrnrnCCCCCn，杨辉三角的第n行就是二项式(a+b)n展开式的系数即(a+b)nnnnrrnrnnnnnbCbaCbaCaC110试用数学归纳法证明二项式定理:nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)((1)当n=1时,左边=a+b,右边=babaCaC1111101∴当n=1时等式成立(2)假设当n=k时等式成立,即当n=k+1时kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba110)()()()(1bababakk))((110babCbaCbaCaCkkkrrkrkkkkkbaCabCbaCbaCaCkkkkkrrkrkkkkk011110111kkkkkkrrkrkbCabCbaC证明:110110)()(rrkrkrkkkkkkbaCCbaCCaC,)(11kkkkkkkkbCabCC(2)假设当n=k时等式成立,即当n=k+1时kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba110)()()()(1bababakk))((110babCbaCbaCaCkkkrrkrkkkkkbaCabCbaCbaCaCkkkkkrrkrkkkkk011110111kkkkkkrrkrkbCabCbaC利用,1111101010，，，，rkrkrkkkkkkCCCCCCCC,1111kkkkkkkkkkCCCCC，利用110110)()(rrkrkrkkkkkkbaCCbaCCaC,)(11kkkkkkkkbCabCC,1111101010，，，，rkrkrkkkkkkCCCCCCCC,1111kkkkkkkkkkCCCCC，这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知对于任意正整数n,等式都成立.111111011)(rrkrkkkkkkbaCbaCaCba,1111kkkkkkbCabC得到杨辉三角之探究1第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171············杨辉三角的第1,3,7,15,···行,即第2k–1行(kZ∈+)的各个数字有什么特点？各个数字均是奇数第1行11第3行1331第7行172135352171杨辉三角之探究2第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171············在杨辉三角的5行中,除去两端的数字1以外,行数5整除其余的所有数,你能找出具有类似性质的三行吗?这时行数P是什么样的数?第2行121第3行1331第7行172135352171P是素数杨辉三角之探究3计算杨辉三角中各行数字的和,我们有第0行1第1行1+1=,第2行1+2+1=,第3行1+3+3+1=,第4行1+4+6+4+1=,第5行1+5+10+10+5+1=,第6行1+6+15+20+15+6+1=,············第n行+++···++···++=,0nC1nCrnC1nnC2nCnnC242n8163264即(a+b)n的展开式的各个二项式系数等于.2n杨辉三角之探究4杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和,与第m+1条斜线上的第n个数有什么关系?第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171············+++=10相等关系一般有)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr试用数学归纳法证明:(1)当n=2时,r=1,左边=右边=∴当n=2时等式成立(...