用判别式求解几何最值问题

用”“求解几何最值问题江苏省睢宁县双沟中学赵光朋（221212）通过恰当的途径，构建一元二次方程模型，在其有解的前提下，应用0 或＞ 0去探讨某些几何最值（或不等）问题，有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果. 举例说明如下：例 1.当斜边一定时，求直角三角形周长的最大值. 分析：.当三角形的斜边c 一定时， 两条直角边的和ba与积 ab都可表示为周长l 与 c 的代数式，由此想到以ba、为实数根构造一元二次方程，再通过判别式求解 . 解：设直角三角形的两条直角边长分别为ba、，斜边为c ，周长为l .则lcba，clba（1）.所以22)()(clba，即222222ccllbaba.又222cba，所以222cllab（2）.由（ 1）、（2）知ba、是方程022)(22cllxlcx的两个实数根 .所以0224)]([22clllc.整理，得0222ccll,求得cl）（21，所以周长 l 的最大值是c）（21. 点评： 上述解法中， 以三角形的斜边c 和周长 l 表示两条直角边ba和，并利用韦达定理构造一元二次方程，再巧用判别式“” 化“相等”为“不等” ，为求得周长的最大值疏通了渠道. 例 2. 三角形有一个内角为060 ，此角所对的边长为1，求证其余两边的和不大于2 . 证明：如图1，ABC 中，060B,1AC. 过 A 作BCAD于 D ，设xBD，通过ADCRtABDRt和, 得xAB2，xAD3，231xDC. 令2312xxxBCABy，整理，得关于x 的一元二次方程0161222yxyx. 由)1(1243622yy0 ，得048122y，所以，22y， y 的最大值为 2 ，即其余两边的和不大于2 . 点评：在此解法中，适时地引入变量yx、，并将他们的关系用一个等式表达出来，为构造一元二次方程明确了目标，为应用”“埋下了伏笔 . 更体现了几何问题代数化的转换思想. 例 3. 如图 2，已知ABC 的面积为 S, 作一条直线 l ∥ BC , 且与ACAB、分别交于ED、两点。记BED 的面积为 k , 证明：Sk41. 1图l2图证明：因为 DE ∥ BC , 则可令ACAEABADx. 又ABC 和ABE 是以 B 为顶点的等高三角形，所以xACAESS ABE，即SxS ABE. 同理可证xABADABABBDSSABEBDE1, 所以,)1(Sxxk整理，得关于x 的方程02kSxSx. 因为 x 是实数，所以042SkS，而0S, 所以04kS，即Sk41. 点评：在上述解法中，以线段比为未知数x ， 并用 x 表示三角形的面积比，通过等式变形得一元二次方程，构思巧妙. 再应用”“，所证的结论则一目了然. 例 4. 如图 3，ABC 中，FED、、分别是BCACAB、、上的点 , DE ∥ BC , DF ∥AC . 设SS ABC...