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用判别式求解几何最值问题

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用”“求解几何最值问题江苏省睢宁县双沟中学赵光朋(221212)通过恰当的途径,构建一元二次方程模型,在其有解的前提下,应用0 或> 0去探讨某些几何最值(或不等)问题,有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果. 举例说明如下:例 1.当斜边一定时,求直角三角形周长的最大值. 分析:.当三角形的斜边c 一定时, 两条直角边的和ba与积 ab都可表示为周长l 与 c 的代数式,由此想到以ba、为实数根构造一元二次方程,再通过判别式求解 . 解:设直角三角形的两条直角边长分别为ba、,斜边为c ,周长为l .则lcba,clba(1).所以22)()(clba,即222222ccllbaba.又222cba,所以222cllab(2).由( 1)、(2)知ba、是方程022)(22cllxlcx的两个实数根 .所以0224)]([22clllc.整理,得0222ccll,求得cl)(21,所以周长 l 的最大值是c)(21. 点评: 上述解法中, 以三角形的斜边c 和周长 l 表示两条直角边ba和,并利用韦达定理构造一元二次方程,再巧用判别式“” 化“相等”为“不等” ,为求得周长的最大值疏通了渠道. 例 2. 三角形有一个内角为060 ,此角所对的边长为1,求证其余两边的和不大于2 . 证明:如图1,ABC 中,060B,1AC. 过 A 作BCAD于 D ,设xBD,通过ADCRtABDRt和, 得xAB2,xAD3,231xDC. 令2312xxxBCABy,整理,得关于x 的一元二次方程0161222yxyx. 由)1(1243622yy0 ,得048122y,所以,22y, y 的最大值为 2 ,即其余两边的和不大于2 . 点评:在此解法中,适时地引入变量yx、,并将他们的关系用一个等式表达出来,为构造一元二次方程明确了目标,为应用”“埋下了伏笔 . 更体现了几何问题代数化的转换思想. 例 3. 如图 2,已知ABC 的面积为 S, 作一条直线 l ∥ BC , 且与ACAB、分别交于ED、两点。记BED 的面积为 k , 证明:Sk41. 1图l2图证明:因为 DE ∥ BC , 则可令ACAEABADx. 又ABC 和ABE 是以 B 为顶点的等高三角形,所以xACAESS ABE,即SxS ABE. 同理可证xABADABABBDSSABEBDE1, 所以,)1(Sxxk整理,得关于x 的方程02kSxSx. 因为 x 是实数,所以042SkS,而0S, 所以04kS,即Sk41. 点评:在上述解法中,以线段比为未知数x , 并用 x 表示三角形的面积比,通过等式变形得一元二次方程,构思巧妙. 再应用”“,所证的结论则一目了然. 例 4. 如图 3,ABC 中,FED、、分别是BCACAB、、上的点 , DE ∥ BC , DF ∥AC . 设SS ABC...

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