知识讲解离散型随机变量的均值与方差理基础

离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为⋯⋯P⋯⋯则称 E11 px22 px⋯nn px⋯ 为的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（ 2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令1p2p⋯np ，则有1p2p⋯npn1 ，E1(x2x⋯nxn1)，所以的数学期望又称为平均数、 均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．2．性质：①()EEE；②若ba(a、b 是常数 )， 是随机变量，则也是随机变量， 有baEbaE)(；baEbaE)(的推导过程如下：：的分布列为⋯⋯⋯⋯P⋯⋯于是 E11)(pbax22)(pbax⋯()iiaxb p⋯＝11(pxa22 px⋯iix p⋯)1( pb2p⋯ip⋯)＝baE∴baEbaE)(。要点二 ：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x ，2x ，⋯，nx ，它们的平均值为x ，那么各数据与 x 的差的平方的平均数[12nS21)(xx＋22)(xx＋⋯＋])(2xxn叫做这组数据的方差。2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为⋯⋯P⋯⋯则称 D＝121)(pEx＋222)(pEx＋⋯＋2()nixEp ＋⋯称为随机变量的方差，式中的 E是随机变量的期望．D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作．要点诠释：⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：4.方差的性质：若ba(a、b 是常数 )，是随机变量， 则也是随机变量，2()DD aba D；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为 p 的二点分布，则期望 Ep方差(1).Dpp证明： (0)Pq ,(1)Pp,01p,1pq∴01Eqpp2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为,n p 的二项分布，即~(),B nP，则期望 EnP方差(1-)Dnpp期望公式证明...