11 级研究生数值分析习题第一章误差及相关问题1. 设,0xx 的相对误差为，求xln的绝对误差。2. 要使20 的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？解：知识点：有效数字和相对误差间的关系。因为20 的首位数字为4，设近视数*x 有 n 位有效数字，所以有：*11|() |1024nrex，令：11100.1%24n，解得：3.097,n所以有 4 位有效数字。3. 用 x 近似,sin x 即,sinxx],,0[x最大为多少时，该近似计算的截断误差不超过10－7 . 第二章 函数插值1. ]2,,2,2,2,[]2,,2,2,2,[,13)(72162147xfxfxxxxf和求。2. （分三次Hermite插值） , 仅给定10 , xx和相应的函数值10, yy及其微商10,mm, 构造插值函数)(xH,)(xH满足条件： 1.)(xH是不超过三次的多项式；2. ,)(,)(1100yxHyxH1100)(,)(mxHmxH。3. 构造 不超过 3 次的插值多项式，使其满足：.3)1(;0)2(,2)1(,1)0(ffff并求插值误差。4. 求一个次数不超过3 的多项式3( )p x , 满足条件：(1)2,(2)4,(3)12,(2)3ffff, 并求插值误差。5 求一个次数不高于4 的多项式4( )P x ，使它满足1)2(,1)1()1(,0)0()0(44444PPPPP，并求插值误差。6给 出 数 据(1 )2 ,( 0 )3 ,( 1 )4 ,ffff试 求 三 次 样 条 函 数( )S x， 并 满 足( 1)5,(3)29SS。并计算(2)?S第三章函数与数据的逼近1. 求,a b 值使得20]sin[xbax2达到最小 . 2. 求[0,1]区间上关于权函数是xxln)(的正交多项式系的前三项。3、判定函数31,,12xx在]1,1[上两两正交，并求一个三次多项式，使其在]1,1[上与上述函数两两正交4. 在]1,25.0[的 所 有 连 续 函 数 的 集 合]1,25.0[C中 ， 给 定,)(xxf子 集},,1{xspan对 于]1,25.0[)(),(Cxgxf，定义内积125.0)()(),(dxxgxfgf，试在中寻找一个线性函数bxa，使它为x 的最佳平方逼近函数5. 利用正交化方法求[0,1] 上带权1( )lnxx的前三个正交多项式012( ),( ),( )pxp xpx 。第四章 数值积分和数值微分1. 用复化 Simpson 公式计算积分dxx21 ln的近似值时，为使结果具有4 位有效数字，需要取多少个节点处的函数值。2．计算积分10dxex，如用复化梯形公式，问区间应分多少等份才能保证计算结果有五位有效数字。3．确定下列求积公式的参数101,,AAA，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度。hhhfAfAhfAdxxf)()0()()().1(101)].()0([)]()0([2)().2(20hffhhffhdxxfh（ 3）1201( )[( 1)2()3()].3hf x dxff xf x4. ...
