2.1 积分第一中值定理证明积分第一中值定理 : 如果函数( )f x 在闭区间 [ , ]a b 上连续，( )g x 在 ( , )a b 上不变号，并且( )g x 在闭区间 [ , ]a b 上是可积的，则在 [ , ]a b 上至少存在一点，使得成立。证明如下：由于( )g x 在闭区间 [ , ]a b 上不变号，我们不妨假设( )0g x，并且记( )f x 在闭区间 [ , ]a b 上的最大值和最小值为M 和 m ，即( )mf xM ，我们将不等式两边同乘以( )g x 可以推出，此时对于任意的[ , ]xa b 都会有成立。对上式在闭区间[ , ]a b 上进行积分，可以得到( )( ) ( )( )bbbaaamg x dxf x g x dxMg x dx 。此时在,m M 之间必存在数值，使得 mM ，即有成立。由于( )f x 在区间 [ , ]a b 上是连续的，则在 [ , ]a b 上必定存在一点，使( )f成立。此时即可得到( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx ，命题得证。2.2 积分第一中值定理的推广定理：（推广的第一积分中值定理）若函数( )f x 是闭区间 [ , ]a b 上为可积函数，( )g x 在 [ , ]a b 上可积且不变号，那么在开区间( , )a b 上至少存在一点，使得成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法 1：由于函数( )f x 在闭区间 [ , ]a b 上是可积的，( )g x 在[ , ]a b 上可积且不变号，令( )( )( )xaF xf t g t dt ， ( )( )xaG xg t dt ，很显然( ),( )F x G x 在[ , ]a b 上连续。并且( )0,( )( ) ( )baF aF bf t g t dt ，( )0,( )( )baG aG bg t dt ，( )( ) ( )Ffg，( )( )Gg。由柯西中值定理即可得到( )( )( ) ,( , )( )( )( )F bF aFa bG bG aG，化简，即( ) ( )( ) ( )( )( )babaf t g t dtfggg t dt，根据上式我们很容易得出( ) ( )( )( ),( , )bbaaf t g t dtfg t dta b ，命题得证。证法 2：由于函数( )g x 在 [ , ]a b 上可积且不变号，我们不妨假设( )0g x。而函 数( )f x在 闭 区 间 [,]a b上 可 积 ， 我 们 令inf( ) |[ , ]mf xxa b，sup( ) |[ , ]Mf xxa b。假设( )F x 是( )f x 在闭区间 [ , ]a b 上的一个原函数，即( )( ),[ , ]Fxf xxa b 。我们就可以得到下面等式此时由于( )0g x，则会有( )0ba ...
