线性代数历年考研试题精解- 1 - 一、填空题1.(1987—Ⅰ , Ⅱ ) 已知三维线性空间的一组基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)aaa,则向量(2,0,0)u在上述基底下的坐标是. 【考点】向量在基下的坐标. 解方法一 :设112233ux ax ax a ,得方程组1213232,0,0,xxxxxx解得1231,1,1xxx. 方法二 :111223312323(,,)aux ax ax ax xxaa,解矩阵方程得1231,1,1xxx. 【注意】行 (列 )向量组由行 (列 )向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的. 2.(1988—Ⅰ , Ⅱ ) 设 4 4 矩阵234234( ,,,),( ,,,)AB,其中234,,,,均为4 维列向量 ,且已知行列式4,1AB,则行列式 AB. 【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质. 解23423422288()40ABAB.【注意】 ABAB .3.(1988—Ⅳ , Ⅴ)1110110110110111. 【考点】行列式的计算. 方法一 :11101110111011101101001101110111310110101010100120111011100110003.方法二 :4(4 1)21111111111010010333( 1)1 ( 1) ( 1) ( 1)31011010001111000D. 【注】副对角行列式线性代数历年考研试题精解- 2 - 1(1)2212( 1)n nnnLN.4.(1988—Ⅳ , Ⅴ)10001001001001000. 【考点】求逆矩阵. 解方法一 :0001100010000001001001000100001001000010001001001000000100011000r,所以100010001001000100100010010001000.方法二 :利用分块矩阵求逆公式得到. 【注】111OAOBBOAO.方法三 :利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩阵是将4 阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一类初等矩阵(1,4)E. 【注】1( , )( , )Ei jE i j.5.(1989—Ⅰ , Ⅱ) 设矩阵300100140 ,010003001AI,则逆矩阵1(2 )AI. 【考点】分块矩阵求逆. 解11100100112120(2 )01221001001BOBOAIAIOO.【注】 (1)111AOAOOBOB;线性代数历年考研试题精解- 3 - (2)1dbabcaabcdcd.6.(1989—Ⅳ )齐次线性方程组1231231230,0,0xxxxxxxxx只有零解 ,则应满足的条件是. 【考点】齐次线性方程组解的理论. 解n 个方程 n 个未知数的齐次线性方程组11n nnnAXO只有零解()0R AnA,即21111(1)01111A.7.(1989—Ⅴ )行列式1111111111111111xxxx. 【考点】行列式的计算. 解11241111111111111111111111111111jcccxjxxxxxxDxxxxx2131414 342100100( 1)1.1001000ccccccxxxxx x xxx8.(1990—Ⅰ , Ⅱ) 已知向量组1234(1,2,3, 4),(2,3, 4,5),(3, 4,5,6),(4,5,6,7), 则该向量组的秩是. 【考点】向量组秩的计算. 解123412...
