线性代数练习题

线性代数试题一填空题◆1．设 A 为 3 阶方阵且2A，则AA231；【分析】只要与*A 有关的题，首先要想到公式 ，EAAAAA**，从中推你要的结论。这里11*2AAAA代入注意 ：为什么是3)1(◆2．设133322211,,，如321,,线性相关，则321,,线性 ______(相关 ) 如321,,线性无关，则321,,线性 ______(无关 ) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘法的关系，然后用矩阵的秩 加以判明。110011101],,[],,[321321，记此为AKB这里)()()(ArAKrBr，切不可两边取行列式！ ！因为矩阵不一定是方阵！！你来做下面的三个题：（1）已知向量组m,,,21（2m）线性无关。设试讨论向量组m,,,21的线性相关性。 （答案： m 为奇数时无关，偶数时相关）（2）已知321,,线性无关，试问常数km,满足什么条件时，向量组线性无关？线性相关？（答案： 当1mk时，无关；当1mk时，相关）（ 3）教材 P103 第 2(6)题和 P110 例 4 和 P113 第 4 题◆3．设非齐次线性方程bxAm 4，2)( Ar，321,,是它的三个解，且求该方程组的通解。(答案：TTTkkx)2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2121，形式不唯一 ) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少， 通解是如何构造的。其次要知道解得性质。你再做教材 P147 第 3 题◆4．当 k时，)5,,1(k能由)1,1,2(),2,3,1(21线性表示（答案8k）【分析】 一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题 。你来做 ：设Tt)2,1,2(，Tt)1,1,1(1，Tt)1,1,1(2，Tt)1,1,1(3，问 t 为何值时，不能由321,,线性表示；能由321,,线性表示且表法唯一；能由321,,线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。注意 ：关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如果不是方阵只有用初等行变换的方法了。◆5．设T)1,1,1(311，求32,使321,,Q为正交矩阵【分析】求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题当然要根据题之要求，还要使用 Schimidt 正交化， 单位化过程 （ 答案 ：详见教材 P117 例 3，还要再单位化）你写一写正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交你也应该会！二选择题◆1．设BA,为满足0AB的两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关(C) A 的行向量组线性...