几个经典不等式的关系一 几个经典不等式(1)均值不等式设12,,0na aaL是实数其中0,1,2,iainL. 当且仅当12naaaL时,等号成立 . (2)柯西不等式设1212,,,,,nna aa b bbLL是实数,则当且仅当0(1,2,, )ibinL或存在实数 k,使得(1,2,, )iiakb inL时,等号成立 .(3)排序不等式设12naaaL, 12nbbbL为两个数组,12ncccL,, ,是12nbbbL,,,的任一排列,则当且仅当12naaaL或12nbbbL时,等号成立 . (4)切比晓夫不等式对于两个数组:12naaaL,12nbbbL,有当且仅当12naaaL或12nbbbL时,等号成立 . 二 相关证明(1)用排序不等式证明切比晓夫不等式证明:由而根据“顺序和乱序和”(在1n个部分同时使用),可得即得同理,根据“乱序和反序和”,可得综合即证(2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”:1212nnnaaaa aanLL证明:构造两个数列:其中12nnca aaL. 因为两个数列中相应项互为倒数,故无论大小如何, 乘积的..........................和:..总是两数组的反序和......... . 于是由“乱序和反序和”,总有于是即即证( 3 ) 用 切 比 晓 夫 不 等 式 证 明 “ 算 数 — 开 方 平 均 不 等 式 ”:2221212nnaaaaaannLL证明:不妨设12naaaL,2221212nnaaaaaannLL222121212nnnaaaaaaaaannnLLL. 由切比晓夫不等式,右边不等式显然成立. 即证. ( 4 ) 用 切 比 晓 夫 不 等 式 证 明 “ 调 和 — 算 数 平 均 不 等 式 ”1212111+nnaaannaaaLL证明:1212111+nnaaannaaaLL12121212111111+1nnnnaaaaaaaaaaaannnLLL. 不妨设12naaaL,则11111nnaaaL,由切比晓夫不等式, 上式成立 . 即证. (5)用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式证明:不妨设12naaaL,12nbbbL由切比晓夫不等式,有1 1221212nnnna ba ba baaabbbnnnLLL. 由均值不等式,有22212122221212nnnnaaaaaannbbbbbbnnLLLL. 所以两边平方,即得22222221 1221212nnnna ba ba baaabbbLLL. 即证. (6)补充“调和—几何平均不等式”的证明证明:将1212nnnaaaa aanLL中的ia 换成 1ia ,有12121111 11nnnaaaa aanLL. 两边取倒数,即得1212111+nnnna aaaaaLL.