几个经典不等式的关系一 几个经典不等式（1）均值不等式设12,,0na aaL是实数其中0,1,2,iainL. 当且仅当12naaaL时，等号成立 . （2）柯西不等式设1212,,,,,nna aa b bbLL是实数，则当且仅当0(1,2,, )ibinL或存在实数 k，使得(1,2,, )iiakb inL时，等号成立 .（3）排序不等式设12naaaL， 12nbbbL为两个数组，12ncccL，， ，是12nbbbL，,，的任一排列，则当且仅当12naaaL或12nbbbL时，等号成立 . （4）切比晓夫不等式对于两个数组：12naaaL，12nbbbL，有当且仅当12naaaL或12nbbbL时，等号成立 . 二 相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明：由而根据“顺序和乱序和”（在1n个部分同时使用），可得即得同理，根据“乱序和反序和”，可得综合即证（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”：1212nnnaaaa aanLL证明：构造两个数列：其中12nnca aaL. 因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何， 乘积的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和：．．总是两数组的反序和．．．．．．．．． . 于是由“乱序和反序和”，总有于是即即证（ 3 ） 用 切 比 晓 夫 不 等 式 证 明 “ 算 数 — 开 方 平 均 不 等 式 ”：2221212nnaaaaaannLL证明：不妨设12naaaL，2221212nnaaaaaannLL222121212nnnaaaaaaaaannnLLL. 由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立. 即证. （ 4 ） 用 切 比 晓 夫 不 等 式 证 明 “ 调 和 — 算 数 平 均 不 等 式 ”1212111+nnaaannaaaLL证明：1212111+nnaaannaaaLL12121212111111+1nnnnaaaaaaaaaaaannnLLL. 不妨设12naaaL，则11111nnaaaL，由切比晓夫不等式， 上式成立 . 即证. （5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式证明：不妨设12naaaL，12nbbbL由切比晓夫不等式，有1 1221212nnnna ba ba baaabbbnnnLLL. 由均值不等式，有22212122221212nnnnaaaaaannbbbbbbnnLLLL. 所以两边平方，即得22222221 1221212nnnna ba ba baaabbbLLL. 即证. （6）补充“调和—几何平均不等式”的证明证明：将1212nnnaaaa aanLL中的ia 换成 1ia ，有12121111 11nnnaaaa aanLL. 两边取倒数，即得1212111+nnnna aaaaaLL.
